10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 1

Tanım kümesi $x \ge 2$ olmak üzere, $f(x) = (x-2)^2 + 1$ şeklinde tanımlanan $f$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = \sqrt{x-1} + 2$

B) $f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 2$

C) $f^{-1}(x) = \sqrt{x-2} + 1$

D) $f^{-1}(x) = -\sqrt{x-1} + 2$

E) $f^{-1}(x) = \sqrt{x+2} - 1$

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında o fonksiyonun yaptığı işlemin tam tersini yapan bir fonksiyonu bulmak demektir. Adım adım bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Fonksiyonu $y$ ile ifade etme.

  Verilen fonksiyon $f(x) = (x-2)^2 + 1$ şeklindedir. Ters fonksiyonu bulmak için öncelikle $f(x)$ yerine $y$ yazarak denklemi daha anlaşılır hale getirelim:

  $y = (x-2)^2 + 1$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirme.

  Ters fonksiyonu bulmanın temel adımlarından biri, $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir. Bu, fonksiyonun "giriş" ve "çıkış" rollerini değiştirmek anlamına gelir:

  $x = (y-2)^2 + 1$

• Adım 3: Denklemi $y$ için çözme.

  Şimdi amacımız, yeni denklemi $y$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde çözmektir. Bu $y$ ifadesi, $f^{-1}(x)$ olacaktır.

  Önce $+1$'i denklemin sol tarafına atalım:

  $x - 1 = (y-2)^2$

  Şimdi her iki tarafın karekökünü alalım. Karekök alırken hem pozitif hem de negatif kök olabileceğini unutmayın:

  $\sqrt{x-1} = \sqrt{(y-2)^2}$

  Karekök içindeki bir ifadenin karesi dışarı mutlak değer olarak çıkar: $\sqrt{A^2} = |A|$. Bu yüzden:

  $\sqrt{x-1} = |y-2|$

• Adım 4: Tanım kümesi kısıtlamasını kullanma.

  Soruda bize $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin $x \ge 2$ olduğu verilmiş. Bu bilgi, $|y-2|$ ifadesindeki mutlak değeri kaldırmamız için çok önemlidir.

  • Orijinal fonksiyonun tanım kümesi ($x \ge 2$), ters fonksiyonun değer kümesi olacaktır. Yani $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun alabileceği değerler $y \ge 2$ olmalıdır.
  • Eğer $y \ge 2$ ise, $y-2 \ge 0$ demektir.
  • Bu durumda, $|y-2|$ ifadesi $y-2$ olarak yazılabilir (çünkü mutlak değerin içi pozitif veya sıfırdır).

  Denklemimiz şimdi şu hale gelir:

  $\sqrt{x-1} = y-2$

• Adım 5: $y$'yi yalnız bırakmaya devam etme.

  Son olarak, $-2$'yi denklemin sol tarafına atarak $y$'yi tamamen yalnız bırakalım:

  $y = \sqrt{x-1} + 2$

• Adım 6: $f^{-1}(x)$ olarak ifade etme.

  Bulduğumuz bu $y$ ifadesi, $f$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonudur:

  $f^{-1}(x) = \sqrt{x-1} + 2$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.