Köşelerinin koordinatları $A(1, 1)$, $B(5, 1)$ ve $C(1, 4)$ olan $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) $4$
B) $6$
C) $8$
D) $10$
E) $12$
Üçgenin köşelerinin koordinatları $A(1, 1)$, $B(5, 1)$ ve $C(1, 4)$ olarak verilmiştir. Bu üçgenin alanını bulmak için adımları takip edelim:
- Adım 1: Üçgenin Kenarlarını İnceleyelim.
- $A(1, 1)$ ve $B(5, 1)$ noktalarının $y$-koordinatları aynıdır ($y=1$). Bu, $AB$ kenarının yatay bir doğru parçası olduğunu gösterir.
- $A(1, 1)$ ve $C(1, 4)$ noktalarının $x$-koordinatları aynıdır ($x=1$). Bu, $AC$ kenarının dikey bir doğru parçası olduğunu gösterir.
- $AB$ kenarı yatay, $AC$ kenarı dikey olduğu için, bu iki kenar birbirine diktir. Dolayısıyla, $ABC$ üçgeni $A$ köşesinde dik açısı olan bir dik üçgendir.
- Adım 2: Taban Uzunluğunu Bulalım.
- $AB$ kenarını taban olarak alabiliriz. $AB$ kenarının uzunluğu, $x$-koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir:
- $|AB| = |x_B - x_A| = |5 - 1| = |4| = 4$ birim.
- Adım 3: Yükseklik Uzunluğunu Bulalım.
- $AC$ kenarını yüksekliğimiz olarak alabiliriz, çünkü $AC$ kenarı $AB$ kenarına diktir. $AC$ kenarının uzunluğu, $y$-koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir:
- $|AC| = |y_C - y_A| = |4 - 1| = |3| = 3$ birim.
- Adım 4: Üçgenin Alanını Hesaplayalım.
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. Genel üçgen alanı formülü: Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$.
- Alan $= \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC|$
- Alan $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3$
- Alan $= \frac{1}{2} \times 12$
- Alan $= 6$ birimkare.
Cevap B seçeneğidir.
