$f: R - \{4\} \to R - \{2\}$ olmak üzere, bir $f$ fonksiyonu $f(x) = \frac{2x+3}{x-4}$ şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre, $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $f^{-1}(x) = \frac{4x+3}{x-2}$
B) $f^{-1}(x) = \frac{4x-3}{x-2}$
C) $f^{-1}(x) = \frac{-4x+3}{x+2}$
D) $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2x-4}$
E) $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2x+4}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun tersini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{2x+3}{x-4}$ olarak verilmiş. Amacımız $f^{-1}(x)$'i bulmak.
Bir fonksiyonun tersini bulmak için izlememiz gereken temel adımlar şunlardır:
- Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.
- Adım 2: Fonksiyonda $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin.
- Adım 3: Yeni oluşan denklemi $y$ için çözün.
- Adım 4: Bulduğunuz $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olacaktır.
Şimdi bu adımları fonksiyonumuza uygulayalım:
-
Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.
$y = \frac{2x+3}{x-4}$
-
Adım 2: Fonksiyonda $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin.
Bu adımda, $x$ gördüğünüz yere $y$, $y$ gördüğünüz yere $x$ yazıyoruz.
$x = \frac{2y+3}{y-4}$
-
Adım 3: Yeni oluşan denklemi $y$ için çözün.
Amacımız $y$'yi yalnız bırakmak. Bunun için denklemi düzenlememiz gerekiyor.
Önce paydadaki $(y-4)$ ifadesini karşıya çarpım olarak atalım:
$x \cdot (y-4) = 2y+3$
Şimdi $x$'i parantez içine dağıtalım:
$xy - 4x = 2y+3$
$y$'li terimleri denklemin bir tarafına, diğer terimleri ise karşı tarafa toplayalım. Genellikle $y$'li terimleri sol tarafa almak işimizi kolaylaştırır:
$xy - 2y = 4x+3$
Şimdi sol taraftaki $y$'li terimleri $y$ parantezine alalım:
$y(x-2) = 4x+3$
Son olarak, $y$'yi yalnız bırakmak için $(x-2)$ ifadesini karşıya bölüm olarak atalım:
$y = \frac{4x+3}{x-2}$
-
Adım 4: Bulduğunuz $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olacaktır.
$f^{-1}(x) = \frac{4x+3}{x-2}$
Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
