10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

Birinci dereceden $f(x) = ax+b$ şeklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için izlenecek adımları algoritmik bir dille ifade ediniz. ($a \neq 0$ kabul ediniz.)

A)

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = ax+b$.
• 2. Adım: $x$ yalnız bırakılır: $x = \frac{y-b}{a}$.
• 3. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir: $y = \frac{x-b}{a}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır: $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$.

B)

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = ax+b$.
• 2. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir: $x = ay+b$.
• 3. Adım: $y$ yalnız bırakılır: $y = \frac{x-b}{a}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır: $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$.

C)

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = ax+b$.
• 2. Adım: $x$ yalnız bırakılır: $x = \frac{y+b}{a}$.
• 3. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir: $y = \frac{x+b}{a}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır: $f^{-1}(x) = \frac{x+b}{a}$.

D)

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = ax+b$.
• 2. Adım: $x$ yalnız bırakılır: $x = ay+b$.
• 3. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir: $y = \frac{x-a}{b}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır: $f^{-1}(x) = \frac{x-a}{b}$.

E)

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = ax+b$.
• 2. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir: $x = ay+b$.
• 3. Adım: $y$ yalnız bırakılır: $y = \frac{x+b}{a}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır: $f^{-1}(x) = \frac{x+b}{a}$.

Merhaba sevgili öğrenciler,

Birinci dereceden bir fonksiyonun tersini bulmak, matematikte sıkça karşılaştığımız ve oldukça önemli bir beceridir. Fonksiyonun tersini bulmak, aslında fonksiyonun yaptığı işlemi "geri almak" anlamına gelir. Şimdi, $f(x) = ax+b$ şeklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için izlememiz gereken adımları algoritmik bir dille inceleyelim.

Bir fonksiyonun tersini bulurken temel mantık, fonksiyonun girdisi ($x$) ile çıktısı ($y$ veya $f(x)$) arasındaki ilişkiyi tersine çevirmektir. Yani, eğer $f(x)=y$ ise, o zaman $f^{-1}(y)=x$ olmalıdır. Biz genellikle ters fonksiyonu da $x$ cinsinden ifade etmek istediğimiz için, bu $x$ ve $y$ rollerini değiştirme adımı kritik öneme sahiptir.

• 1. Adım: $f(x)$ yerine $y$ yazılır.

  Bu adımda, fonksiyonun çıktısını temsil eden $f(x)$ ifadesini daha basit bir gösterim olan $y$ ile değiştiririz. Bu, denklemi daha anlaşılır hale getirir ve sonraki adımlarda işlem yapmayı kolaylaştırır.

  Denklemimiz şu hale gelir: $y = ax+b$.

• 2. Adım: $x$ ile $y$ yer değiştirilir.

  İşte ters fonksiyonu bulmanın kalbi bu adımdadır! Bir fonksiyonun tersi, orijinal fonksiyonun yaptığı işlemi tersine çevirir. Yani, orijinal fonksiyonda $x$ girişi $y$ çıktısını veriyorsa, ters fonksiyonda $y$ girişi $x$ çıktısını vermelidir. Bu değişimi matematiksel olarak ifade etmek için, denklemdeki her $x$ yerine $y$ ve her $y$ yerine $x$ yazarız.

  Denklemimiz şu hale gelir: $x = ay+b$.

• 3. Adım: $y$ yalnız bırakılır.

  İkinci adımda $x$ ve $y$'nin yerini değiştirdikten sonra, yeni denklemde $y$'yi $x$ cinsinden ifade etmemiz gerekir. Bu, ters fonksiyonun kuralını bulmak demektir. Amacımız, $y = \text{bir şeyler } x \text{ cinsinden}$ şeklinde bir ifade elde etmektir.

  • Önce $b$ terimini denklemin diğer tarafına atarız: $x - b = ay$.
  • Ardından, $y$'nin katsayısı olan $a$'yı denklemin diğer tarafına bölme olarak geçiririz: $y = \frac{x-b}{a}$.
• 4. Adım: Elde edilen $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olarak tanımlanır.

  Üçüncü adımda $y$'yi yalnız bıraktığımızda elde ettiğimiz ifade, aslında orijinal fonksiyonun tersidir. Bu $y$ artık $f^{-1}(x)$ olarak adlandırılır.

  Böylece ters fonksiyonumuz: $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$ olur.

Bu adımlar, birinci dereceden bir fonksiyonun tersini bulmak için standart ve doğru bir algoritmayı temsil eder. Seçeneklere baktığımızda, bu adımları doğru bir şekilde takip eden seçenek B'dir.

Cevap B seçeneğidir.