10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

Analitik düzlemde $A(-3, 2)$ ve $B(5, -4)$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) $10$

B) $8$

C) $6\sqrt{2}$

D) $2\sqrt{10}$

E) $4\sqrt{5}$

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu formül, aslında Pisagor teoreminin bir uygulamasıdır. Gelin, adımları tek tek inceleyelim:

• 1. Adım: Uzaklık Formülünü Hatırlayalım

Analitik düzlemde $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ gibi iki nokta arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 2. Adım: Verilen Noktaların Koordinatlarını Belirleyelim

Soruda bize verilen noktalar $A(-3, 2)$ ve $B(5, -4)$'tür. Bu koordinatları formüldeki yerlerine yerleştirmek için belirleyelim:

$x_1 = -3$

$y_1 = 2$

$x_2 = 5$

$y_2 = -4$

(Öğrenci notu: Hangi noktayı $P_1$ hangisini $P_2$ olarak aldığınız fark etmez, çünkü farkların kareleri alındığı için sonuç aynı olacaktır.)

• 3. Adım: $x$ ve $y$ Koordinatları Arasındaki Farkları Bulalım

$x$ koordinatları farkı: $x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

$y$ koordinatları farkı: $y_2 - y_1 = -4 - 2 = -6$

• 4. Adım: Farkların Karelerini Alalım

Şimdi bulduğumuz farkların karelerini alalım:

$(x_2 - x_1)^2 = (8)^2 = 64$

$(y_2 - y_1)^2 = (-6)^2 = 36$

(Öğrenci notu: Negatif bir sayının karesi her zaman pozitif olacağı için $(-6)^2 = 36$ olur. Bu detayı unutmamak önemlidir.)

• 5. Adım: Kareleri Toplayalım

Şimdi bulduğumuz kareleri toplayalım:

$64 + 36 = 100$

• 6. Adım: Karekökünü Alarak Uzaklığı Bulalım

Son olarak, toplamın karekökünü alarak $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklığı buluruz:

$d = \sqrt{100} = 10$ birim

Bu durumda, $A(-3, 2)$ ve $B(5, -4)$ noktaları arasındaki uzaklık $10$ birimdir.

Cevap A seçeneğidir.