10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematik dersinden, %50'si fizik dersinden geçmiştir. Öğrencilerin %30'u ise hem matematik hem de fizik dersinden geçmiştir.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden geçtiği bilindiğine göre, fizik dersinden de geçmiş olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{1}{2}$

B) $\frac{3}{5}$

C) $\frac{3}{10}$

D) $\frac{2}{3}$

E) $\frac{1}{3}$

Sevgili öğrenciler, bu problemde koşullu olasılık kavramını kullanarak bir öğrencinin hem matematik hem de fizik dersinden geçme durumunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Olayları Tanımlayalım ve Verilenleri Yazalım:

  Öncelikle, soruda bahsedilen olayları ve bu olayların olasılıklarını matematiksel olarak ifade edelim:

  • Bir öğrencinin matematik dersinden geçme olayına $M$ diyelim.
  • Bir öğrencinin fizik dersinden geçme olayına $F$ diyelim.
  • Soruda verilen yüzdeleri olasılık olarak yazalım:
  • Matematik dersinden geçenlerin olasılığı: $P(M) = 60\% = \frac{60}{100} = 0.60$
  • Fizik dersinden geçenlerin olasılığı: $P(F) = 50\% = \frac{50}{100} = 0.50$
  • Hem matematik hem de fizik dersinden geçenlerin olasılığı (kesişim): $P(M \cap F) = 30\% = \frac{30}{100} = 0.30$
• 2. Ne Aradığımızı Belirleyelim:

  Soru bizden "matematik dersinden geçtiği bilindiğine göre, fizik dersinden de geçmiş olma olasılığı"nı istiyor. Bu bir koşullu olasılıktır ve $P(F | M)$ şeklinde gösterilir. Yani, $M$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $F$ olayının gerçekleşme olasılığı.

• 3. Koşullu Olasılık Formülünü Hatırlayalım:

  Bir $A$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $B$ olayının gerçekleşme olasılığı şu formülle bulunur:

  $P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$

  Bizim durumumuzda $A$ olayı matematik dersinden geçmek ($M$) ve $B$ olayı fizik dersinden geçmektir ($F$). Bu durumda formülümüz şöyle olur:

  $P(F | M) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)}$

• 4. Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Hesaplayalım:

  Yukarıda belirlediğimiz olasılık değerlerini formülde yerine yazalım:

  • $P(F \cap M)$ değeri $0.30$'dur (hem matematik hem de fizik dersinden geçenlerin olasılığı).
  • $P(M)$ değeri $0.60$'dır (matematik dersinden geçenlerin olasılığı).

  Şimdi hesaplamayı yapalım:

  $P(F | M) = \frac{0.30}{0.60}$

  $P(F | M) = \frac{30}{60}$

  $P(F | M) = \frac{1}{2}$

• 5. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç $\frac{1}{2}$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu değer A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.