$\frac{x-3}{x+2} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-2, 3]$
B) $[-2, 3]$
C) $(-\infty, -2) \cup [3, \infty)$
D) $(-\infty, -2]$
E) $[3, \infty)$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu eşitsizliği adım adım, dikkatlice çözerek konuyu daha iyi anlayalım.
-
Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
Eşitsizliğin payını ve paydasını sıfır yapan $x$ değerlerini bulmalıyız. Bu değerlere "kritik noktalar" denir. Bu noktalar, eşitsizliğin işaret değiştirebileceği yerlerdir.
- Payı sıfır yapan değer: $x-3 = 0 \implies x = 3$
- Paydayı sıfır yapan değer: $x+2 = 0 \implies x = -2$
Unutmayın, bir kesrin paydası asla sıfır olamaz. Bu yüzden $x = -2$ değeri çözüm kümesine dahil edilemez.
-
Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Bulduğumuz kritik noktaları ($x = -2$ ve $x = 3$) sayı doğrusunda küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu oluşturalım. Bu tablo, eşitsizliğin farklı aralıklardaki işaretini görmemizi sağlar.
Tabloyu oluştururken her bir çarpanın ($x-3$ ve $x+2$) işaretini ayrı ayrı inceleyip sonra oranının işaretini bulacağız.
| $x$ |
$(-\infty, -2)$ |
$-2$ |
$(-2, 3)$ |
$3$ |
$(3, \infty)$ |
| $x-3$ |
$-$ |
$-$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
| $x+2$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
$+$ |
$+$ |
| $\frac{x-3}{x+2}$ |
$+$ |
Tanımsız |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
Tabloyu nasıl doldurduk?
- $x-3$ ifadesi için: $x=3$'ten büyük değerler için pozitif, küçük değerler için negatiftir.
- $x+2$ ifadesi için: $x=-2$'den büyük değerler için pozitif, küçük değerler için negatiftir.
- $\frac{x-3}{x+2}$ ifadesi için: İki ifadenin işaretlerini bölerek bulduk. Örneğin, $(-\infty, -2)$ aralığında $(-) / (-) = (+)$ olur.
- $x=-2$ noktasında payda sıfır olduğu için ifade tanımsızdır.
- $x=3$ noktasında pay sıfır olduğu için ifadenin değeri $0$'dır.
-
Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz $\frac{x-3}{x+2} \le 0$ şeklindedir. Bu, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları aradığımız anlamına gelir.
- İşaret tablosuna baktığımızda, ifadenin negatif olduğu aralık $(-2, 3)$'tür.
- İfadenin sıfır olduğu nokta ise $x=3$'tür.
- $x=-2$ değeri paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez (açık aralık).
- $x=3$ değeri eşitsizliği sıfır yaptığı ve eşitsizlik "küçük eşit" ($\le$) olduğu için çözüm kümesine dahil edilir (kapalı aralık).
Bu durumda, çözüm kümesi $(-2, 3]$ olarak bulunur.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
