Bir sınıftaki öğrencilerin %70'i Türkçe dersinden, %50'si Matematik dersinden başarılı olmuştur. Öğrencilerin %40'ı ise hem Türkçe hem de Matematik dersinden başarılı olmuştur. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Türkçe dersinden başarılı olduğu bilindiğine göre, Matematik dersinden de başarılı olma olasılığı kaçtır?
A) $\frac{2}{7}$
B) $\frac{4}{7}$
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{4}{5}$
E) $\frac{1}{5}$
Sevgili öğrenciler, bu problemde koşullu olasılık kavramını kullanarak bir öğrencinin belirli bir dersteki başarısının, başka bir dersteki başarısı bilindiğinde nasıl değiştiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Tanımlayalım
- Öncelikle, problemdeki olayları ve olasılıklarını matematiksel olarak ifade edelim.
- Türkçe dersinden başarılı olma olayına $T$ diyelim.
- Matematik dersinden başarılı olma olayına $M$ diyelim.
- Verilen olasılıklar şunlardır:
- Türkçe dersinden başarılı olma olasılığı: $P(T) = \%70 = 0.70$
- Matematik dersinden başarılı olma olasılığı: $P(M) = \%50 = 0.50$
- Hem Türkçe hem de Matematik dersinden başarılı olma olasılığı: $P(T \cap M) = \%40 = 0.40$
- 2. Adım: Sorulan Olasılığı Belirleyelim
- Soru bizden "Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Türkçe dersinden başarılı olduğu bilindiğine göre, Matematik dersinden de başarılı olma olasılığı kaçtır?" diye soruyor.
- Bu, bir koşullu olasılık problemidir. Yani, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını bulmamız isteniyor.
- Matematiksel olarak bu, $P(M|T)$ şeklinde ifade edilir. Yani, Türkçe'den başarılı olduğu bilindiğinde Matematik'ten de başarılı olma olasılığı.
- 3. Adım: Koşullu Olasılık Formülünü Hatırlayalım
- Koşullu olasılık formülü şöyledir: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- Burada $P(A|B)$, $B$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $A$ olayının gerçekleşme olasılığıdır.
- Bizim problemimizde $A$ olayı $M$ (Matematik'ten başarılı olma) ve $B$ olayı $T$ (Türkçe'den başarılı olma) olduğu için formülümüz: $P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}$ olacaktır.
- 4. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Yukarıda belirlediğimiz olasılık değerlerini formüle yerleştirelim:
- $P(M \cap T) = 0.40$ (Hem Türkçe hem Matematik'ten başarılı olma olasılığı)
- $P(T) = 0.70$ (Türkçe'den başarılı olma olasılığı)
- $P(M|T) = \frac{0.40}{0.70}$
- 5. Adım: Hesaplamayı Yapalım
- Şimdi oranı sadeleştirelim:
- $P(M|T) = \frac{0.40}{0.70} = \frac{40}{70}$
- Kesri sadeleştirdiğimizde: $P(M|T) = \frac{4}{7}$ sonucunu buluruz.
Bu sonuç, Türkçe dersinden başarılı olduğu bilinen bir öğrencinin Matematik dersinden de başarılı olma olasılığının $\frac{4}{7}$ olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
