Bir dikdörtgenin kısa kenarı $x$ cm, uzun kenarı ise $x+3$ cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı $70$ cm$^2$ olduğuna göre, kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) $5$
B) $7$
C) $10$
D) $12$
E) $14$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ve alanı arasındaki ilişkiyi kullanarak kısa kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Dikdörtgenin kısa kenarı $x$ cm olarak verilmiş.
- Dikdörtgenin uzun kenarı $x+3$ cm olarak verilmiş.
- Dikdörtgenin alanı $70$ cm$^2$ olarak verilmiş.
- 2. Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:
- Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Yani, Alan = Kısa Kenar $\times$ Uzun Kenar.
- 3. Denklemi Kuralım:
- Verilen kenar uzunluklarını ve alanı formülde yerine yazalım:
- $x \cdot (x+3) = 70$
- 4. Denklemi Çözelim:
- Önce denklemi dağıtalım: $x^2 + 3x = 70$
- Şimdi denklemi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirelim (tüm terimleri bir tarafa toplayalım): $x^2 + 3x - 70 = 0$
- Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-70$ ve toplamları $3$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $10$ ve $-7$'dir.
- Yani, denklemi $(x+10)(x-7) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:
- $x+10 = 0 \implies x = -10$
- $x-7 = 0 \implies x = 7$
- 5. Sonucu Yorumlayalım:
- $x$ bir uzunluğu temsil ettiği için negatif olamaz. Bu yüzden $x = -10$ cevabını eleriz.
- Kısa kenar uzunluğu $x = 7$ cm olmalıdır.
- 6. Cevabı Kontrol Edelim:
- Kısa kenar $7$ cm ise, uzun kenar $7+3 = 10$ cm olur.
- Alan $= 7 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 70$ cm$^2$. Bu, soruda verilen alanla aynıdır. Demek ki cevabımız doğru.
Kısa kenar uzunluğu $7$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
