Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir kelimenin harfleri yer değiştirilerek kaç farklı kelime oluşturulabileceğini bulmamız isteniyor. Bu tür sorular, permütasyon (sıralama) konusuyla ilgilidir. Eğer kelimede tekrar eden harfler varsa, özel bir permütasyon formülü kullanırız.
- Adım 1: Kelimeyi ve Harflerini İnceleyelim
- Verilen kelime "RAHATLIK".
- Bu kelimedeki harfleri ve her bir harfin kaç kez geçtiğini sayalım:
- R: 1 kez
- A: 2 kez
- H: 1 kez
- T: 1 kez
- L: 1 kez
- I: 1 kez
- K: 1 kez
- Toplam harf sayısı (n) = $1+2+1+1+1+1+1 = 8$ harftir.
- Gördüğümüz gibi, 'A' harfi 2 kez tekrar etmektedir. Diğer harfler birer kez geçmektedir.
- Adım 2: Doğru Permütasyon Formülünü Seçelim
- Bir kelimenin harfleri yer değiştirilerek oluşturulabilecek farklı kelime sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülünü kullanırız.
- Formül şöyledir: $ rac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
- Burada:
- $n$: Toplam harf sayısıdır.
- $n_1, n_2, ..., n_k$: Tekrar eden her bir harfin kaç kez geçtiğidir.
- Adım 3: Formülü Uygulayalım ve Hesaplayalım
- Toplam harf sayısı $n = 8$.
- Tekrar eden harf sadece 'A' ve 2 kez geçiyor, yani $n_1 = 2$. (Diğer harfler 1 kez geçtiği için $1! = 1$ olduğundan onları paydaya yazmamıza gerek yoktur.)
- Formülü yerine koyarsak: $ rac{8!}{2!}$
- Şimdi faktöriyel değerlerini hesaplayalım:
- $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$
- $2! = 2 \times 1 = 2$
- Son olarak bölme işlemini yapalım: $ rac{40320}{2} = 20160$
- Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Hesapladığımız sonuç $20160$'tır. Bu değer seçeneklerde C şıkkında yer almaktadır.
RAHATLIK kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız $20160$ farklı kelime oluşturulabilir.
Cevap C seçeneğidir.
