Koordinat düzleminde $A(-1, 5)$ ve $B(7, -3)$ noktalarını birleştiren $AB$ doğru parçasını içten $AC/CB = 3/1$ oranında bölen $C$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(4, -1)$
B) $(5, -1)$
C) $(5, 0)$
D) $(6, -2)$
E) $(6, 1)$
Bu problemde, bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için "İçten Bölme Formülü" veya "Bölüm Formülü" adı verilen özel bir formül kullanırız.
- Verilen Bilgiler:
- $A$ noktasının koordinatları: $A(x_1, y_1) = A(-1, 5)$
- $B$ noktasının koordinatları: $B(x_2, y_2) = B(7, -3)$
- $AB$ doğru parçasını içten bölen $C$ noktası.
- Bölme oranı: $AC/CB = 3/1$. Bu oranı $m:n$ olarak düşünebiliriz, yani $m=3$ ve $n=1$.
- İçten Bölme Formülü:
Eğer bir $C(x, y)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölüyorsa, $C$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
- $x_C = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$
- $y_C = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$
- $C$ noktasının $x$-koordinatını bulalım:
Formülde verilen değerleri yerine yazalım:
- $x_C = \frac{(1) \cdot (-1) + (3) \cdot (7)}{3+1}$
- $x_C = \frac{-1 + 21}{4}$
- $x_C = \frac{20}{4}$
- $x_C = 5$
- $C$ noktasının $y$-koordinatını bulalım:
Formülde verilen değerleri yerine yazalım:
- $y_C = \frac{(1) \cdot (5) + (3) \cdot (-3)}{3+1}$
- $y_C = \frac{5 - 9}{4}$
- $y_C = \frac{-4}{4}$
- $y_C = -1$
- $C$ noktasının koordinatları:
Bulduğumuz $x_C$ ve $y_C$ değerlerini birleştirirsek, $C$ noktasının koordinatları $C(5, -1)$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
