Bir sınıftaki öğrencilerin $60\%$ı kızdır. Kız öğrencilerin $40\%$ı matematik dersinde başarılıdır. Erkek öğrencilerin $50\%$i matematik dersinde başarılıdır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinde başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
A) $1/2$
B) $3/5$
C) $6/11$
D) $2/3$
E) $4/7$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, olasılık konusunun önemli bir bölümü olan koşullu olasılık ve Bayes Teoremi ile ilgilidir. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözeceğiz.
- 1. Olayları Tanımlayalım:
Problemi daha anlaşılır hale getirmek için bazı olayları sembollerle gösterelim:
- $K$: Rastgele seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı.
- $E$: Rastgele seçilen öğrencinin erkek öğrenci olması olayı.
- $M$: Rastgele seçilen öğrencinin matematik dersinde başarılı olması olayı.
- 2. Verilen Olasılıkları Yazalım:
Soruda bize verilen bilgileri olasılık ifadeleriyle gösterelim:
- Sınıftaki öğrencilerin $60\%$ı kızdır: $P(K) = 0.60 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
- Kız öğrencilerin $40\%$ı matematik dersinde başarılıdır. Bu, öğrencinin kız olduğu bilindiğinde matematikte başarılı olma olasılığıdır: $P(M|K) = 0.40 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
- Erkek öğrencilerin $50\%$i matematik dersinde başarılıdır. Bu da öğrencinin erkek olduğu bilindiğinde matematikte başarılı olma olasılığıdır: $P(M|E) = 0.50 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
- 3. Erkek Öğrenci Olma Olasılığını Bulalım:
Sınıftaki öğrencilerin geri kalanı erkek olduğuna göre, erkek öğrenci olma olasılığı $1 - P(K)$ olacaktır:
- $P(E) = 1 - P(K) = 1 - 0.60 = 0.40 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
- 4. Rastgele Seçilen Bir Öğrencinin Matematikte Başarılı Olma Olasılığını ($P(M)$) Bulalım:
Bir öğrencinin matematikte başarılı olması, iki farklı şekilde gerçekleşebilir: ya kız öğrenci olup başarılıdır ya da erkek öğrenci olup başarılıdır. Bu iki durumu toplarsak, herhangi bir öğrencinin matematikte başarılı olma genel olasılığını buluruz (Tüm Olasılık Teoremi):
- $P(M) = P(M|K) \cdot P(K) + P(M|E) \cdot P(E)$
- Şimdi bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
- $P(M) = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right)$
- Çarpma işlemlerini yapalım:
- $P(M) = \frac{6}{25} + \frac{2}{10}$
- $\frac{2}{10}$ kesrini sadeleştirelim: $\frac{1}{5}$.
- $P(M) = \frac{6}{25} + \frac{1}{5}$
- Paydaları eşitlemek için $\frac{1}{5}$ kesrini $5$ ile genişletelim: $\frac{5}{25}$.
- $P(M) = \frac{6}{25} + \frac{5}{25}$
- Toplama işlemini yapalım:
- $P(M) = \frac{11}{25}$
- 5. Rastgele Seçilen Bir Öğrencinin Matematikte Başarılı Olduğu Bilindiğine Göre, Bu Öğrencinin Kız Öğrenci Olma Olasılığını ($P(K|M)$) Bulalım:
İşte şimdi Bayes Teoremi'ni kullanma zamanı! Bizden istenen, öğrencinin matematikte başarılı olduğu bilindiğinde, bu öğrencinin kız olma olasılığıdır. Formülümüz şöyledir:
- $P(K|M) = \frac{P(M|K) \cdot P(K)}{P(M)}$
- Daha önce bulduğumuz değerleri bu formülde yerine yazalım:
- $P(K|M) = \frac{\left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right)}{\frac{11}{25}}$
- Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım:
- $P(K|M) = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{11}{25}}$
- Kesirlerde bölme işlemi yaparken, payı aynen yazarız ve paydayı ters çevirip çarparız:
- $P(K|M) = \frac{6}{25} \cdot \frac{25}{11}$
- $25$'ler sadeleşecektir:
- $P(K|M) = \frac{6}{11}$
Böylece, rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinde başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığının $\frac{6}{11}$ olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
