10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 1

$f(x) = \sqrt{x-3} + 2$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi $[3, \infty)$'dur.

B) Görüntü kümesi $[2, \infty)$'dur.

C) Fonksiyon artandır.

D) $x=4$ için $f(x)=3$'tür.

E) Grafiği $x$-eksenini keser.

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun özelliklerini inceleyeceğiz. Adım adım her seçeneği dikkatlice değerlendirerek doğru cevabı bulalım.

• Fonksiyonu Anlayalım:

  Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x-3} + 2$'dir. Bu bir karekök fonksiyonudur. Karekök fonksiyonlarının bazı temel özelliklerini hatırlayarak seçenekleri inceleyelim.

• A) Tanım kümesi $[3, \infty)$'dur.
  • Bir karekök ifadesinin tanımlı olabilmesi için kökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, $x-3 \ge 0$ olmalıdır.
  • Bu eşitsizliği çözersek: $x \ge 3$ buluruz.
  • Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi (yani $x$'in alabileceği değerler kümesi) $[3, \infty)$'dur.
  • Bu ifade doğrudur.
• B) Görüntü kümesi $[2, \infty)$'dur.
  • Tanım kümesindeki her $x$ değeri için $\sqrt{x-3}$ ifadesi her zaman $\ge 0$ olacaktır. (Çünkü karekökün sonucu negatif olamaz.)
  • Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x-3} + 2$ olduğuna göre, her iki tarafa 2 eklersek: $\sqrt{x-3} + 2 \ge 0 + 2$ olur.
  • Yani, $f(x) \ge 2$ olur.
  • Fonksiyonun alabileceği en küçük değer $x=3$ için $f(3) = \sqrt{3-3} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 2$'dir. $x$ değerleri arttıkça $\sqrt{x-3}$ de artacağından, $f(x)$ de artar.
  • Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi (yani $f(x)$'in alabileceği değerler kümesi) $[2, \infty)$'dur.
  • Bu ifade doğrudur.
• C) Fonksiyon artandır.
  • Bir fonksiyonun artan olması demek, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerlerinin de artması demektir.
  • Karekök fonksiyonu $\sqrt{u}$, $u \ge 0$ için artan bir fonksiyondur. Bizim fonksiyonumuzda kökün içi $x-3$ ve tanım kümemiz $x \ge 3$ olduğu için $x-3 \ge 0$'dır.
  • Eğer $x_1 < x_2$ ise, $x_1-3 < x_2-3$ olur.
  • Karekök fonksiyonunun artan olmasından dolayı $\sqrt{x_1-3} < \sqrt{x_2-3}$ olur.
  • Her iki tarafa 2 eklediğimizde $\sqrt{x_1-3} + 2 < \sqrt{x_2-3} + 2$, yani $f(x_1) < f(x_2)$ olur.
  • Bu da fonksiyonun artan olduğunu gösterir.
  • Bu ifade doğrudur.
• D) $x=4$ için $f(x)=3$'tür.
  • Bu ifadeyi kontrol etmek için $x=4$ değerini fonksiyonda yerine yazalım:
  • $f(4) = \sqrt{4-3} + 2$
  • $f(4) = \sqrt{1} + 2$
  • $f(4) = 1 + 2$
  • $f(4) = 3$
  • Bu ifade doğrudur.
• E) Grafiği $x$-eksenini keser.
  • Bir fonksiyonun grafiğinin $x$-eksenini kesmesi demek, $f(x)=0$ olduğu bir $x$ değeri olması demektir.
  • Ancak B seçeneğinde bulduğumuz gibi, fonksiyonun görüntü kümesi $[2, \infty)$'dur. Yani $f(x)$'in alabileceği en küçük değer 2'dir ve $f(x)$ her zaman 2 veya 2'den büyük bir değer alır.
  • $f(x)$ hiçbir zaman 0 olamayacağı için, fonksiyonun grafiği $x$-eksenini kesmez.
  • Bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade E seçeneğidir.

Cevap E seçeneğidir.