10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 4

Dik koordinat düzleminde $A(-1, 5)$ ve $B(7, -3)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $C$ noktası $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{3}$ oranında içten bölmektedir. Buna göre $C$ noktasının koordinatları nedir?

A) $(1, 3)$

B) $(2, 2)$

C) $(3, 1)$

D) $(4, 0)$

E) $(5, -1)$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, dik koordinat düzleminde iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen bir noktanın koordinatlarını bulacağız. Bu tür sorular, koordinat geometrisinin temel konularından biridir ve doğru parçasını bölme formülü kullanılarak kolayca çözülebilir.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Belirleyelim

• Bize verilen noktalar:

  • $A(x_1, y_1) = A(-1, 5)$
  • $B(x_2, y_2) = B(7, -3)$

  Doğru parçasını içten bölen $C$ noktasının oranı:

  • $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{3}$

  Bu oran bize $m=1$ ve $n=3$ olduğunu gösterir. Yani $C$ noktası, $A$'dan $1$ birim uzaklıkta ve $B$'den $3$ birim uzaklıkta olacak şekilde doğru parçasını bölmektedir.

• Adım 2: İçten Bölme Formülünü Hatırlayalım

• Bir $C(x, y)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölüyorsa, $C$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

  • $x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
  • $y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
• Adım 3: $C$ Noktasının x-koordinatını Hesaplayalım

• Formüldeki değerleri yerine yazalım:

  • $x_C = \frac{3 \cdot (-1) + 1 \cdot 7}{1+3}$
  • $x_C = \frac{-3 + 7}{4}$
  • $x_C = \frac{4}{4}$
  • $x_C = 1$
• Adım 4: $C$ Noktasının y-koordinatını Hesaplayalım

• Formüldeki değerleri yerine yazalım:

  • $y_C = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot (-3)}{1+3}$
  • $y_C = \frac{15 - 3}{4}$
  • $y_C = \frac{12}{4}$
  • $y_C = 3$
• Adım 5: $C$ Noktasının Koordinatlarını Belirtelim

• Yaptığımız hesaplamalara göre $C$ noktasının koordinatları $(1, 3)$ olarak bulunur.

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.