11. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2 - 5x + 4 < 0$
$x^2 - 7x + 10 \ge 0$

A) $(1, 2]$

B) $[2, 4)$

C) $(1, 4)$

D) $(-\infty, 1) \cup [2, \infty)$

E) $\emptyset$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeli ve ardından bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.

• Birinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2 - 5x + 4 < 0$
  • Öncelikle, $x^2 - 5x + 4 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-1)(x-4) = 0$.
  • Kökler $x_1 = 1$ ve $x_2 = 4$'tür.
  • Şimdi işaret tablosu oluşturalım veya parabolün yönünü düşünelim. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($+1$) olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda, ifade kökler arasında negatif değerler alır.
  • Yani, $1 < x < 4$ olduğunda $x^2 - 5x + 4 < 0$ eşitsizliği sağlanır.
  • Bu çözüm kümesini aralık olarak $(1, 4)$ şeklinde yazabiliriz.
• İkinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2 - 7x + 10 \ge 0$
  • Öncelikle, $x^2 - 7x + 10 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $(x-2)(x-5) = 0$.
  • Kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = 5$'tir.
  • Yine $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($+1$) olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda, ifade köklerin dışında ve köklerde pozitif veya sıfır değerler alır.
  • Yani, $x \le 2$ veya $x \ge 5$ olduğunda $x^2 - 7x + 10 \ge 0$ eşitsizliği sağlanır.
  • Bu çözüm kümesini aralık olarak $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ şeklinde yazabiliriz.
• Çözüm Kümelerinin Kesişimi:
  • Şimdi bulduğumuz iki çözüm kümesinin kesişimini almalıyız. Yani, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız.
  • Birinci çözüm kümesi: $Ç_1 = (1, 4)$
  • İkinci çözüm kümesi: $Ç_2 = (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$
  • Bu iki aralığı bir sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
    • $(1, 4)$ aralığı, $1$ ile $4$ arasındaki tüm sayıları (dahil değil) kapsar.
    • $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ aralığı, $2$'ye eşit veya küçük olan tüm sayıları ve $5$'e eşit veya büyük olan tüm sayıları kapsar.
  • Bu iki kümenin kesişimi $Ç_1 \cap Ç_2$ olacaktır.
    • $(1, 4)$ aralığının $(-\infty, 2]$ ile kesişimi: $(1, 2]$. Çünkü $x$ hem $1$'den büyük hem de $2$'ye eşit veya küçük olmalıdır.
    • $(1, 4)$ aralığının $[5, \infty)$ ile kesişimi: $\emptyset$ (boş küme). Çünkü $1$ ile $4$ arasındaki hiçbir sayı $5$'e eşit veya büyük değildir.
  • Bu durumda, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi $(1, 2]$ olur.

Cevap A seçeneğidir.