11. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 1

Aşağıda verilen denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
$x^2 + y^2 = 25$
$x - y = 5$

A) $\{ (0, -5), (5, 0) \}$

B) $\{ (3, -2), (4, -1) \}$

C) $\{ (5, 0), (0, -5) \}$

D) $\{ (0, 5), (5, 0) \}$

E) $\{ (5, 0), (-5, 0) \}$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir denklem sisteminin çözüm kümesini bulacağız. Denklem sistemimiz bir ikinci dereceden (çember) denklem ile bir birinci dereceden (doğru) denklemden oluşuyor. Bu tür sistemleri çözmek için genellikle yerine koyma (substitüsyon) yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Denklemleri Tanımlayalım:

  Bize verilen denklem sistemi şudur:

  1) $x^2 + y^2 = 25$

  2) $x - y = 5$

  Birinci denklem ikinci dereceden, ikinci denklem ise birinci derecedendir. İkinci dereceden denklemi doğrudan çözmek yerine, birinci dereceden denklemden bir değişkeni çekip diğer denkleme yerine koymak daha kolay olacaktır.

• 2. Bir Değişkeni Yalnız Bırakalım:

  İkinci denklem olan $x - y = 5$ ifadesinden $x$'i yalnız bırakalım. Bunun için $-y$'yi eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $x = y + 5$

• 3. Yerine Koyma İşlemini Yapalım:

  Şimdi bulduğumuz $x = y + 5$ ifadesini birinci denklem olan $x^2 + y^2 = 25$ denkleminde $x$ yerine yazalım:

  $(y + 5)^2 + y^2 = 25$

• 4. Denklemi Çözmek İçin Düzenleyelim:

  Parantez içindeki ifadeyi açalım. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğini hatırlayalım:

  $y^2 + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 + y^2 = 25$

  $y^2 + 10y + 25 + y^2 = 25$

  Benzer terimleri birleştirelim ($y^2$ terimleri):

  $2y^2 + 10y + 25 = 25$

  Eşitliğin her iki tarafından $25$'i çıkaralım:

  $2y^2 + 10y = 0$

• 5. $y$ Değerlerini Bulalım:

  Bu denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alabiliriz. $2y$ ortak çarpandır:

  $2y(y + 5) = 0$

  Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda iki olası çözüm vardır:

  Durum 1: $2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$

  Durum 2: $y + 5 = 0 \Rightarrow y_2 = -5$

• 6. Karşılık Gelen $x$ Değerlerini Bulalım:

  Bulduğumuz $y$ değerlerini, daha önce elde ettiğimiz $x = y + 5$ denkleminde yerine koyarak karşılık gelen $x$ değerlerini bulalım:

  $y_1 = 0$ için:

  $x_1 = 0 + 5 \Rightarrow x_1 = 5$

  Bu bize ilk çözüm noktasını verir: $(5, 0)$

  $y_2 = -5$ için:

  $x_2 = -5 + 5 \Rightarrow x_2 = 0$

  Bu bize ikinci çözüm noktasını verir: $(0, -5)$

• 7. Çözüm Kümesini Yazalım:

  Denklem sisteminin çözüm kümesi, bulduğumuz bu iki noktadan oluşur:

  Çözüm Kümesi $= \{ (5, 0), (0, -5) \}$

• 8. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz çözüm kümesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, C seçeneğinin bizim bulduğumuz çözüm kümesiyle aynı olduğunu görürüz. (Kümelerde elemanların sırası önemli değildir.)

Cevap C seçeneğidir.