Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek çemberde teğet özelliklerini pekiştirelim.
Öncelikle, soruda verilen bilgileri ve şekli gözümüzde canlandıralım. Bir $O$ merkezli çemberimiz var. $P$ noktasından bu çembere iki teğet çizilmiş ve bu teğetler çembere $A$ ve $B$ noktalarında değiyor. Teğetler arasında kalan açı, yani $\angle APB$, $80^\circ$ olarak verilmiş. Bizden $\angle AOB$ açısının kaç derece olduğu isteniyor.
Çemberde çok önemli bir özellik vardır: Bir çembere çizilen teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Bu kuralı kullanarak $OA$ yarıçapının $PA$ teğetine ve $OB$ yarıçapının $PB$ teğetine dik olduğunu söyleyebiliriz.
Bu özellik sayesinde, $A$ ve $B$ noktalarındaki açılar $90^\circ$ olur:
$\angle OAP = 90^\circ$ (çünkü $OA$ yarıçapı $PA$ teğetine diktir)
$\angle OBP = 90^\circ$ (çünkü $OB$ yarıçapı $PB$ teğetine diktir)
Şimdi $O, A, P, B$ noktalarını birleştirdiğimizde bir dörtgen oluştuğunu fark edelim: $OAPB$ dörtgeni. Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman $360^\circ$'dir. Bu bilgi, soruyu çözmemiz için anahtar olacaktır.
$OAPB$ dörtgeninin iç açılarını ve bilinen değerlerini listeleyelim:
$\angle OAP = 90^\circ$ (teğet-yarıçap dikliğinden bulduk)
$\angle APB = 80^\circ$ (soruda verildi)
$\angle OBP = 90^\circ$ (teğet-yarıçap dikliğinden bulduk)
$\angle AOB$ (bu açıyı arıyoruz)
Bu dört açının toplamını $360^\circ$'ye eşitleyelim:
$\angle OAP + \angle APB + \angle OBP + \angle AOB = 360^\circ$
Bilinen değerleri denkleme yerleştirelim:
$90^\circ + 80^\circ + 90^\circ + \angle AOB = 360^\circ$
Sol taraftaki bilinen açıları toplayalım:
$260^\circ + \angle AOB = 360^\circ$
Şimdi $\angle AOB$ açısını bulmak için $260^\circ$'yi $360^\circ$'den çıkaralım:
$\angle AOB = 360^\circ - 260^\circ$
$\angle AOB = 100^\circ$
Bu durumda, $\angle AOB$ açısının ölçüsü $100^\circ$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
