Bu soruyu çözmek için belirli integralin temel kurallarını ve integral alma tekniklerini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Belirsiz İntegralini Bulma
- Öncelikle, integralini almamız gereken $f(x) = 4x^3 - 2x$ fonksiyonunun belirsiz integralini (antiderivatifini) bulmalıyız. İntegral alma kurallarını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ve $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
- $4x^3$ teriminin integrali: $4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.
- $-2x$ teriminin integrali: $-2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$.
- Böylece, $f(x)$ fonksiyonunun belirsiz integrali $F(x) = x^4 - x^2$ olur. Belirli integral hesaplarken $+C$ sabitini eklememize gerek yoktur.
- Adım 2: Belirli İntegral Değerini Hesaplama
- Belirli integralin değeri, Newton-Leibniz formülü (Kalkülüsün Temel Teoremi) kullanılarak bulunur: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Burada $a=1$ (alt sınır) ve $b=3$ (üst sınır) değerleridir.
- Önce üst sınır olan $x=3$ için $F(x)$ değerini hesaplayalım:
- $F(3) = (3)^4 - (3)^2 = 81 - 9 = 72$.
- Şimdi alt sınır olan $x=1$ için $F(x)$ değerini hesaplayalım:
- $F(1) = (1)^4 - (1)^2 = 1 - 1 = 0$.
- Adım 3: Sonucu Bulma
- Son olarak, $F(b) - F(a)$ işlemini yaparak belirli integralin değerini bulalım:
- $\int_1^3 (4x^3 - 2x) dx = F(3) - F(1) = 72 - 0 = 72$.
Bu adımları takip ettiğimizde, belirli integralin değerinin $72$ olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
