12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

$f(x) = x^2$ fonksiyonunun $[2, 4]$ aralığında, aralığı $n$ eşit alt aralığa bölerek oluşturulan üst Riemann toplamı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\sum_{i=1}^n \left(2 + i \frac{2}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$

B) $\sum_{i=0}^{n-1} \left(2 + i \frac{2}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$

C) $\sum_{i=1}^n \left(2 + i \frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{n}$

D) $\sum_{i=1}^n \left(i \frac{2}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$

E) $\sum_{i=1}^n \left(2 + i \frac{2}{n}\right) \frac{2}{n}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki üst Riemann toplamı ifadesini bulmamız isteniyor. Riemann toplamları, bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasında kalan alanı yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Üst Riemann toplamı, her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük değeri kullanarak dikdörtgenlerin yüksekliğini belirler.

• 1. Fonksiyonu ve Aralığı Belirleyelim:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$ ve aralık $[a, b] = [2, 4]$'tür.

• 2. Alt Aralık Genişliğini ($\Delta x$) Hesaplayalım:

  Aralığı $n$ eşit alt aralığa böldüğümüzde, her bir alt aralığın genişliği $\Delta x$ şu formülle bulunur:

  $\Delta x = \frac{b - a}{n}$

  Verilen değerleri yerine koyarsak:

  $\Delta x = \frac{4 - 2}{n} = \frac{2}{n}$

• 3. Alt Aralıkların Uç Noktalarını Belirleyelim:

  Her bir alt aralığın başlangıç noktası $a=2$'dir. $i$-inci alt aralığın sağ uç noktası $x_i$ şu şekilde ifade edilir:

  $x_i = a + i \Delta x$

  Değerleri yerine koyarsak:

  $x_i = 2 + i \frac{2}{n}$

  Burada $i$, $1$'den $n$'ye kadar değer alır.

• 4. Fonksiyonun Aralıktaki Davranışını İnceleyelim:

  $f(x) = x^2$ fonksiyonu, verilen $[2, 4]$ aralığında artan bir fonksiyondur. Bunu anlamak için fonksiyonun türevini alabiliriz: $f'(x) = 2x$. Bu aralıkta $x$ pozitif olduğu için $f'(x)$ de pozitiftir, bu da fonksiyonun artan olduğunu gösterir.

• 5. Üst Riemann Toplamı İçin Örnek Noktayı Seçelim:

  Bir fonksiyon artan olduğunda, bir alt aralıkta $[x_{i-1}, x_i]$ en büyük değerini sağ uç noktasında alır. Bu nedenle, üst Riemann toplamı için her alt aralıkta kullanacağımız örnek nokta, sağ uç nokta $x_i$ olacaktır.

  Yani, $x_i^* = x_i = 2 + i \frac{2}{n}$

• 6. Üst Riemann Toplamı İfadesini Oluşturalım:

  Genel üst Riemann toplamı formülü şöyledir:

  $U_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$

  Bulduğumuz $f(x_i^*)$ ve $\Delta x$ değerlerini bu formülde yerine koyalım:

  • $f(x_i^*) = f\left(2 + i \frac{2}{n}\right) = \left(2 + i \frac{2}{n}\right)^2$
  • $\Delta x = \frac{2}{n}$

  Bu durumda, üst Riemann toplamı ifadesi:

  $U_n = \sum_{i=1}^n \left(2 + i \frac{2}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$

• 7. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Elde ettiğimiz ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile tamamen aynı olduğunu görürüz.

  A) $\sum_{i=1}^n \left(2 + i \frac{2}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$

Bu adımları takip ederek doğru cevaba ulaşmış olduk.

Cevap A seçeneğidir.