$f(x) = x^2 - 9$ fonksiyonunun $x$-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) $18$
B) $\frac{32}{3}$
C) $\frac{44}{3}$
D) $\frac{56}{3}$
E) $36$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, bir fonksiyonun $x$-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür problemler, integralin en temel uygulamalarından biridir ve grafik çizimi ile integral hesaplamayı birleştirir.
1. Fonksiyonu Anlama ve Grafiği Zihnimizde Canlandırma:
Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 9$. Bu bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. $-9$ terimi ise parabolün tepe noktasının $y$-ekseni üzerinde $(0, -9)$ noktasında olduğunu gösterir.
2. $x$-Eksenini Kesen Noktaları Bulma:
Bir fonksiyonun $x$-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanını bulmak için, öncelikle fonksiyonun $x$-eksenini hangi noktalarda kestiğini belirlemeliyiz. Bu noktalar, integralimizin sınırlarını oluşturacaktır. $x$-eksenini kestiği noktaları bulmak için $f(x) = 0$ denklemini çözeriz:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x = -3$ veya $x = 3$.
Bu, parabolün $x$-eksenini $x = -3$ ve $x = 3$ noktalarında kestiği anlamına gelir.
3. Alan Hesabı İçin İntegrali Kurma:
$x = -3$ ile $x = 3$ aralığında, parabolün tepe noktası $(0, -9)$ olduğu için, fonksiyonun değerleri negatiftir (yani grafik $x$-ekseninin altındadır). Alan her zaman pozitif bir değer olmalıdır. Bu nedenle, $x$-ekseninin altında kalan bir bölgenin alanını hesaplarken, integralin sonucunun pozitif çıkması için fonksiyonun mutlak değerini alırız veya fonksiyonu eksi ile çarparız.
Alan $= \int_{-3}^{3} |x^2 - 9| dx$.
Bu aralıkta $x^2 - 9$ negatif olduğu için, $|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$ olur.
Dolayısıyla, alan integralimiz şu şekilde kurulur:
Alan $= \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx$.
4. Belirli İntegrali Hesaplama:
Şimdi bu belirli integrali hesaplayalım. İlk olarak, $9 - x^2$ ifadesinin belirsiz integralini alalım:
$\int (9 - x^2) dx = 9x - \frac{x^3}{3} + C$.
Şimdi bu ifadeyi belirli integral sınırları arasında değerlendirelim:
$[9x - \frac{x^3}{3}]_{-3}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - (9(-3) - \frac{(-3)^3}{3})$
$= (27 - \frac{27}{3}) - (-27 - \frac{-27}{3})$
$= (27 - 9) - (-27 - (-9))$
$= 18 - (-27 + 9)$
$= 18 - (-18)$
$= 18 + 18$
$= 36$.
5. Sonucu Değerlendirme:
Hesaplamalarımız sonucunda, $f(x) = x^2 - 9$ fonksiyonunun $x$-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanının $36$ birimkare olduğunu bulduk.
