Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun sürekli olup olmadığını anlamak için belirli noktalarda inceleme yapmamız gerekir. Bir $f(x)$ fonksiyonunun bir $x=c$ noktasında sürekli olması için üç temel şartın sağlanması gerekir:
Şimdi verilen $f(x)$ fonksiyonunu inceleyelim:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & x \neq 2 \\ 5 & x = 2 \end{cases}$
Bu fonksiyon, $x=2$ noktası dışında bir rasyonel fonksiyon olarak tanımlanmıştır. Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olmadığı her yerde süreklidir. Payda $x-2$ olduğu için, $x \neq 2$ olduğu sürece payda sıfır olmaz ve bu kısım süreklidir. Dolayısıyla, süreksizlik olabilecek tek şüpheli nokta $x=2$ noktasıdır. Bu noktayı yukarıdaki üç şartı kullanarak kontrol edelim:
Fonksiyon tanımına göre, $x=2$ olduğunda $f(x)=5$ olarak verilmiştir. Yani $f(2) = 5$. Bu şart sağlanmıştır.
Limit hesaplarken, $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor ama $2$'ye eşit olmuyor. Bu durumda fonksiyonun $x \neq 2$ için geçerli olan kısmını kullanırız:
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
Pay kısmını çarpanlarına ayırabiliriz: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Şimdi limiti tekrar yazalım:
$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
$x \neq 2$ olduğu için $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 2} (x + 2)$
Şimdi $x=2$ değerini yerine koyarsak:
$2 + 2 = 4$
Yani, $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. Limit değeri vardır ve $4$'tür. Bu şart da sağlanmıştır.
Bir önceki adımlarda bulduğumuz değerleri karşılaştıralım:
$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$
$f(2) = 5$
Gördüğümüz gibi, $4 \neq 5$. Yani limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit değildir. Bu şart sağlanmamıştır.
Üçüncü şart sağlanmadığı için, $f(x)$ fonksiyonu $x=2$ noktasında sürekli değildir. Diğer tüm noktalarda (yani $x \neq 2$ için) fonksiyon süreklidir.
Bu durumda, fonksiyonun sürekli olmadığı tek nokta $x=2$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
