12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Şekilde $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $A_1$ alanı $8$ birimkare ve $A_2$ alanı $5$ birimkare olduğuna göre, $\int_{-2}^4 f(x) dx$ integralinin değeri kaçtır?
(Görselde $x$-ekseninin üstünde kalan alan $A_1$, altında kalan alan $A_2$ olarak gösterilmiştir. $A_1$ $x=-2$'den $x=1$'e kadar olan aralıkta, $A_2$ $x=1$'den $x=4$'e kadar olan aralıkta bulunmaktadır.)

A) $-3$

B) $3$

C) $13$

D) $-13$

E) $0$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda belirli integralin geometrik anlamını kullanarak bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasında kalan alanları değerlendireceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Öncelikle, belirli integralin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir $f(x)$ fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali, o fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasında kalan alanları işaretli olarak toplar. Yani, x-ekseninin üstünde kalan alanlar pozitif, altında kalan alanlar ise negatif olarak hesaba katılır.
• Bize verilen integral $\int_{-2}^4 f(x) dx$ şeklindedir. Bu integrali, grafikteki alanların ayrıldığı noktalara göre parçalayabiliriz. Grafiğe baktığımızda, fonksiyonun $x=-2$'den $x=1$'e kadar x-ekseninin üstünde, $x=1$'den $x=4$'e kadar ise x-ekseninin altında kaldığını görüyoruz.
• Bu durumda, integralimizi iki parçaya ayırabiliriz: $\int_{-2}^4 f(x) dx = \int_{-2}^1 f(x) dx + \int_1^4 f(x) dx$
• Şimdi her bir parçayı ayrı ayrı değerlendirelim:
• Birinci Parça: $\int_{-2}^1 f(x) dx$ Bu integral, $x=-2$'den $x=1$'e kadar olan aralıktaki alanı temsil eder. Grafikte bu alan $A_1$ olarak gösterilmiştir ve x-ekseninin üstündedir. Dolayısıyla, bu integralin değeri pozitif olacaktır. Soruda $A_1 = 8$ birimkare olarak verilmiştir. Bu durumda, $\int_{-2}^1 f(x) dx = A_1 = 8$ olur.
• İkinci Parça: $\int_1^4 f(x) dx$ Bu integral, $x=1$'den $x=4$'e kadar olan aralıktaki alanı temsil eder. Grafikte bu alan $A_2$ olarak gösterilmiştir ve x-ekseninin altındadır. X-ekseninin altında kalan alanlar integrale negatif katkı sağlar. Soruda $A_2 = 5$ birimkare olarak verilmiştir. Bu durumda, $\int_1^4 f(x) dx = -A_2 = -5$ olur.
• Son olarak, bulduğumuz bu iki değeri toplayarak istenen integralin sonucunu bulalım: $\int_{-2}^4 f(x) dx = \int_{-2}^1 f(x) dx + \int_1^4 f(x) dx = 8 + (-5) = 3$

Böylece, integralin değeri $3$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.