$\int (4x^3 - 6x^2 + 2x - 7) dx$ belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 7x + C$
B) $x^4 - 3x^3 + x^2 - 7x + C$
C) $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 7x + C$
D) $12x^2 - 12x + 2 + C$
E) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 7 + C$
Bu soruyu çözmek için, belirsiz integral alma kurallarını adım adım uygulayacağız. Temel olarak, bir polinomun integralini alırken her terimin integralini ayrı ayrı alırız. Hatırlamamız gereken iki temel kural şunlardır:
- Bir kuvvet fonksiyonunun integrali: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$).
- Bir sabitin integrali: $\int k dx = kx + C$.
- Bir toplamın veya farkın integrali, integrallerin toplamı veya farkıdır: $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
- Sabit çarpan kuralı: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$.
Şimdi verilen ifadeyi terim terim inceleyelim:
- Birinci terim: $4x^3$
- $\int 4x^3 dx$ ifadesinde, $4$ bir sabittir ve integral dışına alınabilir: $4 \int x^3 dx$.
- $x^3$ teriminin integralini alırken $n=3$ kuralını uygularız: $\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
- Bu durumda, $4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.
- İkinci terim: $-6x^2$
- $\int -6x^2 dx$ ifadesinde, $-6$ bir sabittir: $-6 \int x^2 dx$.
- $x^2$ teriminin integralini alırken $n=2$ kuralını uygularız: $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
- Bu durumda, $-6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3$.
- Üçüncü terim: $2x$
- $\int 2x dx$ ifadesinde, $2$ bir sabittir: $2 \int x^1 dx$.
- $x^1$ teriminin integralini alırken $n=1$ kuralını uygularız: $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.
- Bu durumda, $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
- Dördüncü terim: $-7$
- $\int -7 dx$ ifadesinde, $-7$ bir sabittir. Bir sabitin integrali $kx$ şeklindedir.
- Bu durumda, $-7x$.
Tüm bu terimlerin integrallerini bir araya getirip, belirsiz integralin sonunda her zaman eklediğimiz integral sabiti $C$'yi ekleyelim:
- $x^4 - 2x^3 + x^2 - 7x + C$
Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 7x + C$
- B) $x^4 - 3x^3 + x^2 - 7x + C$
- C) $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 7x + C$
- D) $12x^2 - 12x + 2 + C$
- E) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 7 + C$
Bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
