$\int (3x^2 + 2x)(x^3 + x^2 + 5)^3 dx$ belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{1}{4}(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$
B) $\frac{1}{3}(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$
C) $(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$
D) $3(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$
E) $4(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$
Sevgili öğrenciler, bu integral sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Bu tür integraller genellikle "değişken değiştirme" (u-substitüsyonu) yöntemiyle kolayca çözülür.
- Adım 1: İntegrali İnceleme ve Değişken Belirleme
- Verilen integral $\int (3x^2 + 2x)(x^3 + x^2 + 5)^3 dx$ şeklindedir.
- Bu ifadede, bir fonksiyonun türevinin, başka bir fonksiyonun kuvvetiyle çarpıldığını fark edebiliriz. Genellikle, kuvveti alınmış olan ifadenin içini $u$ olarak seçmek işimizi kolaylaştırır.
- Bu durumda, $u = x^3 + x^2 + 5$ seçimi uygun olacaktır.
- Adım 2: $du$ İfadesini Bulma
- Şimdi seçtiğimiz $u$ değişkeninin diferansiyelini (türevini $dx$ ile çarparak) bulalım.
- $u = x^3 + x^2 + 5$ ise, her iki tarafın $x$'e göre türevini alıp $dx$ ile çarparız:
- $\frac{du}{dx} = 3x^2 + 2x$
- Buradan $du = (3x^2 + 2x) dx$ elde ederiz.
- Adım 3: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazma
- Şimdi orijinal integralimizi $u$ ve $du$ cinsinden yeniden yazalım:
- Orijinal integral: $\int (3x^2 + 2x)(x^3 + x^2 + 5)^3 dx$
- $u = x^3 + x^2 + 5$ ve $du = (3x^2 + 2x) dx$ ifadelerini yerine koyarsak:
- $\int u^3 du$ olur. Gördüğünüz gibi integral çok daha basit bir hale geldi.
- Adım 4: Basitleştirilmiş İntegrali Çözme
- Şimdi $\int u^3 du$ integralini çözelim. Bu, temel kuvvet kuralı integralidir: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
- Burada $n=3$ olduğu için:
- $\int u^3 du = \frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{u^4}{4} + C$
- Adım 5: $u$ Yerine Orijinal İfadeyi Koyma
- Son olarak, $u$ yerine başlangıçta belirlediğimiz $x^3 + x^2 + 5$ ifadesini geri yazalım:
- $\frac{(x^3 + x^2 + 5)^4}{4} + C$
- Bu ifadeyi $\frac{1}{4}(x^3 + x^2 + 5)^4 + C$ olarak da yazabiliriz.
Bulduğumuz sonuç seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
