Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için belirli integralin temel özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Belirli İntegralin Özelliklerini Hatırlayalım
- Belirli integralin en önemli özelliklerinden biri, toplama-çıkarma ve sabit çarpan özellikleridir. Yani, bir integralin içindeki fonksiyonlar toplanıp çıkarılıyorsa veya bir sabit sayıyla çarpılıyorsa, integrali ayrı ayrı alabiliriz. Matematiksel olarak ifade edersek:
- $\int_a^b (c \cdot h(x) \pm d \cdot k(x)) dx = c \int_a^b h(x) dx \pm d \int_a^b k(x) dx$
- Bu özellik, integral alma işlemlerini çok daha kolay hale getirir ve bu tip soruların çözümünde anahtar rol oynar.
- 2. Adım: Verilen İlk Denklemi Genişletelim
- Soruda bize verilen ilk denklem şuydu: $\int_1^3 (2f(x) - 3g(x)) dx = 10$.
- Yukarıda hatırladığımız özelliği kullanarak bu denklemi açalım:
- $2 \int_1^3 f(x) dx - 3 \int_1^3 g(x) dx = 10$
- Gördüğünüz gibi, karmaşık görünen bir ifadeyi iki ayrı integralin farkı şeklinde yazdık. Bu, çözüme ulaşmak için önemli bir basamaktır.
- 3. Adım: Bilinen Değeri Yerine Koyalım
- Soruda bize $\int_1^3 g(x) dx = -2$ olduğu bilgisi verilmişti. Şimdi bu değeri genişlettiğimiz denklemde yerine koyalım:
- $2 \int_1^3 f(x) dx - 3 \cdot (-2) = 10$
- Denklemimiz artık sadece bilmediğimiz $\int_1^3 f(x) dx$ ifadesini içeriyor. Bu, denklemi çözülebilir hale getirir.
- 4. Adım: Denklemi Çözerek İstenen Değeri Bulalım
- Şimdi denklemi adım adım çözerek $\int_1^3 f(x) dx$ değerini bulalım:
- Öncelikle çarpma işlemini yapalım:
- $2 \int_1^3 f(x) dx - (-6) = 10$
- Eksi ile eksinin çarpımı artı olacağından:
- $2 \int_1^3 f(x) dx + 6 = 10$
- Eşitliğin her iki tarafından $6$ çıkaralım (bilinenleri bir tarafa, bilinmeyeni diğer tarafa topluyoruz):
- $2 \int_1^3 f(x) dx = 10 - 6$
- $2 \int_1^3 f(x) dx = 4$
- Şimdi her iki tarafı $2$'ye bölelim (bilinmeyenin katsayısını yok etmek için):
- $\int_1^3 f(x) dx = \frac{4}{2}$
- $\int_1^3 f(x) dx = 2$
- Böylece istenen $\int_1^3 f(x) dx$ değerini $2$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
