12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo meb Test 2

$y = x^2 - 4x + 3$ parabolü ile $x$-ekseni arasında kalan alan kaç birimkaredir?

A) $\frac{2}{3}$

B) $\frac{4}{3}$

C) $\frac{8}{3}$

D) $\frac{16}{3}$

E) $\frac{32}{3}$

Parabol ile $x$-ekseni arasında kalan alanı bulmak için öncelikle parabolün $x$-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmamız gerekir. Bu noktalar, integralin sınırlarını oluşturacaktır.

• 1. Adım: Parabolün $x$-eksenini kestiği noktaları bulma

Bir fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktaları bulmak için $y=0$ denklemini çözeriz.

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırarak köklerini bulabiliriz:

$(x-1)(x-3) = 0$

Buradan kökler $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur. Bu değerler, integralimizin alt ve üst sınırları olacaktır.

• 2. Adım: Parabolün $x$-eksenine göre konumunu belirleme

Parabolün denklemi $y = x^2 - 4x + 3$'tür. $x^2$'nin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğru açılır.

Kökler $x=1$ ve $x=3$ olduğuna göre, bu aralıkta parabol $x$-ekseninin altında kalacaktır. Bunu doğrulamak için $x=1$ ile $x=3$ arasındaki herhangi bir değeri (örneğin $x=2$) fonksiyonda yerine koyabiliriz:

$y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

$y$ değeri negatif olduğu için, parabol bu aralıkta $x$-ekseninin altındadır. Alanı pozitif bulmak için integral alırken fonksiyonun negatifini almamız gerekir.

• 3. Adım: Alan integralini kurma

$x$-ekseni ile bir fonksiyon arasında kalan alan, belirli integral ile hesaplanır. Eğer fonksiyon $x$-ekseninin altındaysa, alanı pozitif yapmak için integralin önüne bir eksi işareti koyarız veya fonksiyonun kendisini eksi ile çarparız.

Alan $A = \int_{1}^{3} -(x^2 - 4x + 3) dx$

$A = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

• 4. Adım: İntegrali hesaplama

Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3}$

$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$

Önce üst sınırı ($x=3$) yerine koyalım:

$\left( -\frac{(3)^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) = \left( -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 \right) = (-9 + 18 - 9) = 0$

Şimdi alt sınırı ($x=1$) yerine koyalım:

$\left( -\frac{(1)^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right) = \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = -\frac{4}{3}$

Son olarak, üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkaralım:

$A = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

• Ek Bilgi (Kısa Yol):

Eğer bir parabol $y = ax^2 + bx + c$ ile $x$-ekseni arasında kalan alan soruluyorsa ve parabolün kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu alan için pratik bir formül bulunmaktadır:

$A = \frac{|a|}{6}(x_2 - x_1)^3$

Bu soruda $a=1$, $x_1=1$ ve $x_2=3$ değerlerini yerine koyarsak:

$A = \frac{|1|}{6}(3 - 1)^3 = \frac{1}{6}(2)^3 = \frac{1}{6}(8) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Her iki yöntemle de sonuç aynı çıkmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.