Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için kürenin hacim formülünü ve yarıçapının iki katına çıkarılmasının bu formülü nasıl etkilediğini adım adım inceleyelim.
- 1. Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım:
- Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere aşağıdaki formülle hesaplanır:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Burada $\pi$ (pi) sabit bir sayıdır.
- 2. Başlangıç Durumunu Belirleyelim:
- Başlangıçtaki kürenin yarıçapına $r_1$ diyelim. Genellikle sadece $r$ olarak kullanırız.
- Bu durumda, başlangıçtaki kürenin hacmi $V_1$ şu şekilde olacaktır:
$V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$
- 3. Yarıçap İki Katına Çıkarıldığında Yeni Durumu İnceleyelim:
- Soruda belirtildiği gibi, kürenin yarıçapı iki katına çıkarılıyor.
- Yeni yarıçap $r_2$ ise, $r_2 = 2r$ olur.
- Şimdi bu yeni yarıçapı kullanarak kürenin yeni hacmini $V_2$ hesaplayalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3$
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3$
- 4. Yeni Hacmi Sadeleştirelim:
- $(2r)^3$ ifadesini açalım. Üslü sayılarda çarpımın kuvveti, çarpanların kuvvetlerinin çarpımına eşittir: $(ab)^n = a^n b^n$.
- Yani, $(2r)^3 = 2^3 \times r^3 = 8r^3$.
- Bu değeri $V_2$ formülünde yerine koyalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (8r^3)$
$V_2 = 8 \times \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$
- 5. Hacimlerin Karşılaştırmasını Yapalım:
- Yukarıdaki $V_2$ ifadesine dikkatlice bakarsak, parantez içindeki $\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$ kısmının aslında başlangıçtaki hacim $V_1$ olduğunu görürüz.
- O halde, $V_2 = 8 \times V_1$ yazabiliriz.
- Bu da demektir ki, kürenin yarıçapı iki katına çıkarıldığında hacmi 8 katına çıkar.
Cevap D seçeneğidir.
