Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100 den küçük sayılar nedir? Test 1

Bir sayının asal çarpanları 2 ve 7'dir. Bu sayı 100'den küçük ve 50'den büyük olduğuna göre, bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 56
B) 70
C) 84
D) 98

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle soruda verilen koşulları çok iyi anlamamız gerekiyor. Bir sayının asal çarpanları sadece 2 ve 7 ise, bu sayı $2^a \cdot 7^b$ şeklinde yazılabilen bir sayıdır. Burada $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmalıdır (yani hem 2 hem de 7 asal çarpan olarak bulunmalıdır). Ayrıca, bu sayı 50'den büyük ve 100'den küçük olmalıdır ($50 < \text{sayı} < 100$). Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek hangisinin bu koşulları sağlamadığını bulalım:

• A) 56:

  56 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7^1$

  56 sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 7'dir. Ayrıca $50 < 56 < 100$ koşulunu da sağlar. Bu nedenle 56, aranan sayı olabilir.

• B) 70:

  70 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $70 = 2 \cdot 35 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

  70 sayısının asal çarpanları 2, 5 ve 7'dir. Soruda sayının asal çarpanlarının sadece 2 ve 7 olduğu belirtilmiştir. Ancak 70 sayısında 5 asal çarpanı da bulunmaktadır. Bu durum, verilen koşulu sağlamaz.

  Bu nedenle 70, aranan sayı olamaz.

• C) 84:

  84 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$

  84 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir. Tıpkı B seçeneğindeki gibi, bu sayıda da 2 ve 7 dışında (3) bir asal çarpan bulunmaktadır. Bu da verilen koşulu sağlamaz.

  Bu nedenle 84, aranan sayı olamaz.

• D) 98:

  98 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

  $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7 \cdot 7 = 2^1 \cdot 7^2$

  98 sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 7'dir. Ayrıca $50 < 98 < 100$ koşulunu da sağlar. Bu nedenle 98, aranan sayı olabilir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, 70 ve 84 sayılarının asal çarpanları arasında 2 ve 7 dışında başka asal sayılar (sırasıyla 5 ve 3) bulunduğu için, soruda belirtilen koşulu sağlamadıklarını görüyoruz. Dolayısıyla bu sayılar, aranan sayı olamazlar.

Soruda "aşağıdakilerden hangisi olamaz?" diye sorulduğu ve seçenekler arasında B ve C'nin ikisi de olamayacağı duruma uysa da, verilen doğru cevap B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.