Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir küpün yüzey alanı ile hacminin sayısal olarak birbirine eşit olduğu bir durumu inceleyeceğiz. Küpün bir kenar uzunluğunu bulmak için adım adım ilerleyelim.
- 1. Küpün Temel Formüllerini Hatırlayalım:
- Bir küpün bir kenar uzunluğu $x$ birim ise:
- Yüzey Alanı (A): Bir küpün 6 tane eş karesel yüzeyi vardır. Her bir yüzeyin alanı $x \cdot x = x^2$ birimkaredir. Dolayısıyla küpün toplam yüzey alanı $A = 6 \cdot x^2$ birimkaredir.
- Hacim (V): Bir küpün hacmi, kenar uzunluğunun küpü alınarak bulunur. Yani $V = x \cdot x \cdot x = x^3$ birimküptür.
- 2. Verilen Bilgiyi Matematiksel İfadeye Dönüştürelim:
- Soru bize küpün yüzey alanı ile hacminin sayısal olarak birbirine eşit olduğunu söylüyor. Bu durumda, $A = V$ denklemini kurabiliriz.
- Formülleri yerine yazarsak: $6x^2 = x^3$.
- 3. Denklemi Çözelim:
- Şimdi $6x^2 = x^3$ denklemini $x$ için çözmemiz gerekiyor.
- Denklemin her iki tarafını da bir tarafa toplayalım: $x^3 - 6x^2 = 0$.
- Bu denklemde ortak çarpan olan $x^2$ parantezine alabiliriz: $x^2(x - 6) = 0$.
- Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda iki olası çözümümüz var:
- Olasılık 1: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Ancak bir küpün kenar uzunluğu $0$ olamaz, çünkü o zaman bir küp var olmazdı. Bu yüzden bu çözüm fiziksel olarak geçerli değildir.
- Olasılık 2: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Bu çözüm geçerlidir.
- 4. Sonucu Kontrol Edelim:
- Eğer küpün bir kenar uzunluğu $x = 6$ birim ise:
- Yüzey Alanı: $A = 6 \cdot (6)^2 = 6 \cdot 36 = 216$ birimkare.
- Hacim: $V = (6)^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ birimküp.
- Gördüğümüz gibi, yüzey alanı ve hacim sayısal olarak birbirine eşittir ($216 = 216$). Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.
Buna göre, küpün bir kenarı $6$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
