Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki kürenin hacimleri arasındaki oranı kullanarak yüzey alanları arasındaki oranı bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Kürelerin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ formülü ile hesaplanır.
- Soruda bize iki kürenin hacimleri oranı verilmiş. Bu kürelerin yarıçapları $r_1$ ve $r_2$ olsun. Hacimleri de $V_1$ ve $V_2$ olsun.
- $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$
- $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$
- Verilen oran: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{8}$
- Adım 2: Yarıçaplar Oranını Bulalım
- Hacim formüllerini oranlayarak yarıçaplar oranını bulabiliriz:
- $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$
- Bu oranı verilen değerle eşitleyelim: $\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{1}{8}$
- Bu ifadeyi $(\frac{r_1}{r_2})^3 = \frac{1}{8}$ şeklinde yazabiliriz.
- Her iki tarafın küpkökünü alarak yarıçaplar oranını buluruz: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
- Yani, birinci kürenin yarıçapı, ikinci kürenin yarıçapının yarısı kadardır.
- Adım 3: Kürelerin Yüzey Alanı Formülünü Hatırlayalım
- Bir kürenin yüzey alanı $A$, yarıçapı $r$ olmak üzere, $A = 4\pi r^2$ formülü ile hesaplanır.
- Kürelerin yüzey alanları $A_1$ ve $A_2$ olsun:
- $A_1 = 4\pi r_1^2$
- $A_2 = 4\pi r_2^2$
- Adım 4: Yüzey Alanları Oranını Bulalım
- Şimdi yüzey alanlarını oranlayalım:
- $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$
- Bu ifadeyi $(\frac{r_1}{r_2})^2$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2'de bulduğumuz yarıçaplar oranını yerine koyalım:
- $\frac{A_1}{A_2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
- Böylece, kürelerin yüzey alanları oranını $\frac{1}{4}$ olarak buluruz.
Bu tür problemlerde, benzer geometrik şekiller için uzunluklar oranı $k$ ise, alanlar oranı $k^2$ ve hacimler oranı $k^3$ olduğunu unutmayın. Bu bilgi, çözüm sürecini hızlandırabilir.
Cevap B seçeneğidir.
