2026 TYT: Yüzey Alanı ve Hacim Arasındaki İlişki Nedir? Bilmeniz Gerekenler Test 1

Ayrıtları $a, 2a$ ve $3a$ olan bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının hacmine oranı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{11}{3a}$
B) $\frac{22}{6a}$
C) $\frac{11}{6a}$
D) $\frac{6}{11a}$
E) $\frac{3}{11a}$

Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının hacmine oranını bulmak için öncelikle prizmanın hacmini ve yüzey alanını ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

• Adım 1: Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplama

  Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, ayrıt uzunluklarının çarpımı ile bulunur. Ayrıt uzunlukları $a$, $2a$ ve $3a$ olarak verilmiştir.

  Hacim $(V) = \text{ayrıt}_1 \times \text{ayrıt}_2 \times \text{ayrıt}_3$

  $V = a \times 2a \times 3a$

  Bu çarpma işlemini yaparken katsayıları ve $a$ terimlerini ayrı ayrı çarpabiliriz:

  $V = (1 \times 2 \times 3) \times (a \times a \times a)$

  $V = 6a^3$

• Adım 2: Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanını Hesaplama

  Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, tüm yüzlerinin alanları toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasının 3 farklı boyutta yüz çifti bulunur (karşılıklı yüzler birbirine eşittir). Bu yüzlerin alanları şunlardır:

  1. Yüz çifti (boyutları $a$ ve $2a$ olan yüzler): Bu yüzün alanı $a \times 2a = 2a^2$'dir. Prizmada bu yüzden iki tane olduğu için bu çiftten gelen toplam alan $2 \times 2a^2 = 4a^2$ olur.

  2. Yüz çifti (boyutları $a$ ve $3a$ olan yüzler): Bu yüzün alanı $a \times 3a = 3a^2$'dir. Prizmada bu yüzden iki tane olduğu için bu çiftten gelen toplam alan $2 \times 3a^2 = 6a^2$ olur.

  3. Yüz çifti (boyutları $2a$ ve $3a$ olan yüzler): Bu yüzün alanı $2a \times 3a = 6a^2$'dir. Prizmada bu yüzden iki tane olduğu için bu çiftten gelen toplam alan $2 \times 6a^2 = 12a^2$ olur.

  Toplam yüzey alanı $(SA)$, bu üç çiftin alanlarının toplamıdır:

  $SA = 4a^2 + 6a^2 + 12a^2$

  $SA = 22a^2$

  Alternatif olarak, dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı formülü $SA = 2(lw + lh + wh)$ kullanılarak da hesaplanabilir:

  $SA = 2 \times ( (a \times 2a) + (a \times 3a) + (2a \times 3a) )$

  $SA = 2 \times (2a^2 + 3a^2 + 6a^2)$

  $SA = 2 \times (11a^2)$

  $SA = 22a^2$

• Adım 3: Yüzey Alanının Hacme Oranını Bulma

  Şimdi yüzey alanını hacme oranlayalım:

  Oran $= \frac{SA}{V}$

  Oran $= \frac{22a^2}{6a^3}$

• Adım 4: Oranı Sadeleştirme

  Bulduğumuz oranı en sade haline getirelim. Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim:

  Oran $= \frac{22a^2}{6a^3}$

  Öncelikle sayıları sadeleştirelim: $22$ ve $6$ sayıları $2$ ile sadeleşir.

  $\frac{22 \div 2}{6 \div 2} = \frac{11}{3}$

  Şimdi $a$ terimlerini sadeleştirelim: Payda $a^2$ ve paydada $a^3$ var. $a^2$ terimi ile sadeleşince paydada $a$ kalır.

  $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

  Bu durumda oran şu şekilde olur:

  Oran $= \frac{11}{3} \times \frac{1}{a}$

  Oran $= \frac{11}{3a}$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.