ANKARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kelimelerden biri rastgele seçiliyor. Seçilen bu kelimenin A ile başlayıp A ile bitme olasılığı kaçtır?
A) $\frac{1}{3}$Bu soruda, ANKARA kelimesinin harfleriyle oluşturulabilecek 6 harfli kelimeler arasından, rastgele seçilen bir kelimenin belirli bir özelliğe sahip olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
ANKARA kelimesi 6 harflidir. Harflerin dağılımı şöyledir: 3 tane A, 1 tane N, 1 tane K, 1 tane R.
Bu, tekrarlı permütasyon problemidir. Formülümüz $ rac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$ şeklindedir.
Burada $n=6$ (toplam harf sayısı), $n_A=3$, $n_N=1$, $n_K=1$, $n_R=1$.
Toplam kelime sayısı = $ rac{6!}{3!1!1!1!} = rac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1 \times 1 \times 1} = rac{720}{6} = 120$.
Demek ki, ANKARA kelimesinin harfleriyle 120 farklı 6 harfli kelime yazabiliriz. Bu bizim tüm olası durumlarımızın sayısıdır.
Kelimenin A ile başlayıp A ile bitmesi demek, ilk harfin A ve son harfin A olması demektir.
ANKARA kelimesinde 3 tane A harfi vardı. İki tanesini başa ve sona yerleştirdiğimize göre, geriye 1 tane A harfi kalır.
Geriye kalan harfler ve sayıları şunlardır: 1 tane A, 1 tane N, 1 tane K, 1 tane R.
Bu 4 harf, kelimenin ortasındaki 4 boşluğa yerleştirilecektir.
Bu 4 farklı harfin 4 farklı yere sıralanması $4!$ şeklinde olur.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Yani, A ile başlayıp A ile biten 24 farklı kelime yazılabilir. Bu bizim istenen durumlarımızın sayısıdır.
Olasılık = $ rac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$
Olasılık = $ rac{24}{120}$
Bu kesri sadeleştirelim: $ rac{24}{120} = rac{1}{5}$.
Cevap C seçeneğidir.
