Sinüs ve kosinüs teoremi Test 1

Bir ABCD dörtgeninde $AB=4$ birim, $BC=6$ birim ve $\angle ABC = 60^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, $AC$ köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

A) $2\sqrt{5}$
B) $2\sqrt{6}$
C) $2\sqrt{7}$
D) $2\sqrt{8}$

Bu problemde, bir dörtgenin sadece bir üçgensel kısmına ait bilgiler verilmiş ve bu üçgenin bir kenar uzunluğu istenmektedir. Bu tür durumlarda genellikle Kosinüs Teoremi kullanılır.

• Adım 1: Problemi Anlamak ve İlgili Üçgeni Belirlemek

  Bize bir $ABCD$ dörtgeni verilmiş olsa da, $AC$ köşegeninin uzunluğunu bulmak için sadece $\triangle ABC$ üçgenindeki bilgilere ihtiyacımız var. Bu üçgende $AB$ kenarının uzunluğu $4$ birim, $BC$ kenarının uzunluğu $6$ birim ve bu iki kenar arasındaki $\angle ABC$ açısının ölçüsü $60^\circ$ olarak verilmiştir. Bizden istenen ise $AC$ kenarının uzunluğudur.

• Adım 2: Kosinüs Teoremini Hatırlamak

  Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Kosinüs Teoremi'ne göre, bir $\triangle XYZ$ üçgeninde kenar uzunlukları $x, y, z$ ve $Z$ açısı $z$ kenarının karşısındaki açı olmak üzere,

  $z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos Z$

  formülü geçerlidir.

• Adım 3: Kosinüs Teoremini $\triangle ABC$ Üçgenine Uygulamak

  Bizim durumumuzda, $AC$ kenarının uzunluğunu bulmak istiyoruz. Buna $x$ diyelim. Kosinüs Teoremini $\triangle ABC$ üçgenine uygulayalım:

  $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

• Adım 4: Verilen Değerleri Formülde Yerine Koymak

  Verilen değerleri formülde yerine yazalım:

  • $AB = 4$ birim
  • $BC = 6$ birim
  • $\angle ABC = 60^\circ$

  $x^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

• Adım 5: Hesaplamaları Yapmak

  Şimdi hesaplamaları adım adım yapalım:

  • $\cos(60^\circ)$ değeri $\frac{1}{2}$'dir.
  • $4^2 = 16$
  • $6^2 = 36$

  $x^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

  $x^2 = 52 - (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2})$

  $x^2 = 52 - (4 \cdot 6)$

  $x^2 = 52 - 24$

  $x^2 = 28$

• Adım 6: $AC$ Uzunluğunu Bulmak

  $x^2 = 28$ olduğuna göre, $x$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $x = \sqrt{28}$

  Karekök içindeki sayıyı sadeleştirelim. $28 = 4 \cdot 7$ olduğu için:

  $x = \sqrt{4 \cdot 7}$

  $x = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7}$

  $x = 2\sqrt{7}$ birimdir.

Buna göre, $AC$ köşegeninin uzunluğu $2\sqrt{7}$ birimdir.

Cevap C seçeneğidir.