Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikizkenar dik üçgenin özelliklerini ve geometrik ortalama kavramını kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Üçgenin Özelliklerini Anlayalım:
Bir ikizkenar dik üçgen, hem dik açısı ($90^\circ$) olan hem de dik açıyı oluşturan iki kenarının (dik kenarlarının) uzunlukları birbirine eşit olan bir üçgendir. Bu kenarlara $a$ dersek, diğer dik kenar da $a$ olacaktır.
-
2. Geometrik Ortalama Kavramını Uygulayalım:
İki sayının ($a$ ve $b$) geometrik ortalaması $\sqrt{a \cdot b}$ formülüyle bulunur. Soruda, dik kenarların uzunluklarının geometrik ortalamasının $4\sqrt{2}$ olduğu belirtilmiş. Bizim üçgenimizde dik kenarların uzunlukları $a$ ve $a$ olduğuna göre, geometrik ortalama şu şekilde yazılır:
$\sqrt{a \cdot a} = 4\sqrt{2}$
-
3. Dik Kenarların Uzunluğunu Bulalım:
Yukarıdaki denklemi çözerek dik kenarların uzunluğunu ($a$) bulabiliriz:
$\sqrt{a^2} = 4\sqrt{2}$
$a = 4\sqrt{2}$ birim.
Demek ki, ikizkenar dik üçgenimizin her bir dik kenarının uzunluğu $4\sqrt{2}$ birimdir.
-
4. Hipotenüs Uzunluğunu Hesaplayalım:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$). Bizim üçgenimizde dik kenarlar $a$ ve $a$ olduğu için, hipotenüs ($h$) için denklem şöyle olur:
$a^2 + a^2 = h^2$
$2a^2 = h^2$
Şimdi $a$ yerine bulduğumuz değeri ($4\sqrt{2}$) yazalım:
$2 \cdot (4\sqrt{2})^2 = h^2$
$2 \cdot (4^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = h^2$
$2 \cdot (16 \cdot 2) = h^2$
$2 \cdot 32 = h^2$
$64 = h^2$
Her iki tarafın karekökünü alırsak:
$h = \sqrt{64}$
$h = 8$ birim.
Buna göre, üçgenin hipotenüs uzunluğu $8$ birimdir.
Cevap A seçeneğidir.
