5. \( \sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{12} \) işleminin sonucu kaçtır?
A) \( 2\sqrt{3} \)Sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapabilmek için öncelikle kök içindeki sayıları en sade hallerine getirmemiz gerekir. Yani, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Hadi adım adım ilerleyelim!
75 sayısının çarpanlarını düşünelim. 75, $ 25 \times 3 $ olarak yazılabilir. Burada 25 bir tam karedir ($ 5^2 $). O halde, $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz. Kök dışına çıkan sayı 25'in karekökü olan 5'tir. Yani, $ \sqrt{75} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} $ olur.
48 sayısının çarpanlarını düşünelim. 48, $ 16 \times 3 $ olarak yazılabilir. Burada 16 bir tam karedir ($ 4^2 $). O halde, $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz. Kök dışına çıkan sayı 16'nın karekökü olan 4'tür. Yani, $ \sqrt{48} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $ olur.
12 sayısının çarpanlarını düşünelim. 12, $ 4 \times 3 $ olarak yazılabilir. Burada 4 bir tam karedir ($ 2^2 $). O halde, $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz. Kök dışına çıkan sayı 4'ün karekökü olan 2'dir. Yani, $ \sqrt{12} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ olur.
Şimdi orijinal işlemimiz $ \sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{12} $ idi. Sadeleştirdiğimiz hallerini yerine yazarsak:
$ 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} $
Gördüğünüz gibi, tüm terimlerin kök içi aynı ($ \sqrt{3} $) olduğu için, katsayıları toplayıp çıkarabiliriz. Bu tıpkı $ 5x - 4x + 2x $ işlemini yapmak gibidir.
$ (5 - 4 + 2)\sqrt{3} $
$ (1 + 2)\sqrt{3} $
$ 3\sqrt{3} $
Böylece işlemin sonucunu $ 3\sqrt{3} $ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
