f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun aşağıdaki aralıkların hangisinde artan olduğunu bulunuz.
A) (-∞, 0)Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, öncelikle fonksiyonun türevini almamız ve türevin işaretini incelememiz gerekir. Eğer türev pozitifse fonksiyon artandır, negatifse azalandır.
Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alın.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$'dir.
Bu fonksiyonun türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2)$
$f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot (2x) + 0$
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
Adım 2: Türevin Sıfır Olduğu Noktaları (Kritik Noktaları) Bulun.
Türevi sıfıra eşitleyerek fonksiyonun artan veya azalan durumunun değiştiği noktaları buluruz:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Buradan iki kritik nokta elde ederiz:
$3x = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
Bu noktalar, sayı doğrusunu $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ ve $(2, \infty)$ olmak üzere üç aralığa ayırır.
Adım 3: Her Bir Aralıkta Türevin İşaretini İnceleyin.
Her aralıktan bir test noktası seçerek $f'(x)$'in işaretini belirleyelim:
Aralık $(-\infty, 0)$ için: $x = -1$ seçelim.
$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3(1) + 6 = 3 + 6 = 9$
Türev pozitif ($f'(-1) > 0$) olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır.
Aralık $(0, 2)$ için: $x = 1$ seçelim.
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$
Türev negatif ($f'(1) < 0$) olduğu için bu aralıkta fonksiyon azalandır.
Aralık $(2, \infty)$ için: $x = 3$ seçelim.
$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3(9) - 18 = 27 - 18 = 9$
Türev pozitif ($f'(3) > 0$) olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır.
Adım 4: Seçenekleri Değerlendirin.
Fonksiyonun artan olduğu aralıklar $(-\infty, 0)$ ve $(2, \infty)$'dir. Şimdi verilen seçenekleri bu bilgiyle karşılaştıralım:
A) $(-\infty, 0)$: Bu aralıkta fonksiyon artandır.
B) $(0, 2)$: Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
C) $(2, \infty)$: Bu aralıkta fonksiyon artandır.
D) $(-1, 1)$: Bu aralık, fonksiyonun hem artan hem de azalan olduğu kısımları içerir (örneğin, $(-1, 0)$'da artan, $(0, 1)$'de azalan). Bu nedenle bu aralıkta tamamen artan değildir.
Seçenekler arasında fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri C seçeneğinde verilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
