Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevini alıp türevin işaretini incelememiz gerekir. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ şeklindedir. Bu fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını kullanmalıyız. Genel olarak, $\ln(u)$ fonksiyonunun türevi $\frac{u'}{u}$ şeklindedir.
- Burada $u = x^2 + 1$ olduğu için, $u'$ (yani $x^2 + 1$'in türevi) $2x$ olacaktır.
- O halde, $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ olarak bulunur.
- Adım 2: Türevin İşaretini İnceleme
- Bir fonksiyonun artan olduğu aralık, türevinin pozitif ($f'(x) > 0$) olduğu aralıktır.
- Bu durumda, $\frac{2x}{x^2 + 1} > 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.
- Adım 3: Eşitsizliği Çözme
- Eşitsizliğin paydasına bakalım: $x^2 + 1$. Herhangi bir gerçek $x$ değeri için $x^2 \ge 0$ olduğundan, $x^2 + 1 \ge 1$ olacaktır. Bu demektir ki, payda her zaman pozitiftir.
- Bir kesrin pozitif olabilmesi için, pay ve paydanın aynı işaretli olması gerekir. Payda her zaman pozitif olduğu için, payın da pozitif olması zorunludur.
- Yani, $2x > 0$ olmalıdır.
- Adım 4: $x$ Değerlerini Belirleme
- $2x > 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde, her iki tarafı $2$'ye bölersek $x > 0$ sonucunu elde ederiz.
- Adım 5: Artan Olduğu Aralığı Belirleme
- Fonksiyonun türevi $x > 0$ olduğunda pozitif olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu $(0, \infty)$ aralığında artandır.
Bu adımları takip ettiğimizde, fonksiyonun artan olduğu aralığın $(0, \infty)$ olduğunu buluruz.
Cevap D seçeneğidir.
