Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki minimum değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Bu bir mutlak değer fonksiyonudur. Mutlak değerin tanımı gereği, bir sayının mutlak değeri asla negatif olamaz. Yani, $f(x) \ge 0$ olmak zorundadır.
- Fonksiyonun minimum değerini bulmak için, mutlak değerin içindeki ifade olan $g(x) = x^2 - 4x + 3$ ifadesinin 0 olup olamayacağını kontrol etmeliyiz. Eğer $g(x)$ ifadesi 0 olabiliyorsa, o zaman $f(x)$ fonksiyonunun minimum değeri 0 olacaktır.
- Şimdi $g(x) = x^2 - 4x + 3$ denklemini 0'a eşitleyelim ve köklerini bulalım:
- $x^2 - 4x + 3 = 0$
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. Çarpımları 3, toplamları -4 olan iki sayı -1 ve -3'tür.
- Yani, $(x - 1)(x - 3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- Buradan kökler $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur.
- Bulduğumuz bu köklerin verilen aralık olan $[-1, 5]$ içinde olup olmadığını kontrol edelim:
- $x_1 = 1$ değeri, $[-1, 5]$ aralığının içindedir.
- $x_2 = 3$ değeri de, $[-1, 5]$ aralığının içindedir.
- Bu durumda, $x = 1$ veya $x = 3$ olduğunda $f(x)$ fonksiyonunun değeri 0 olacaktır:
- $f(1) = |1^2 - 4(1) + 3| = |1 - 4 + 3| = |0| = 0$
- $f(3) = |3^2 - 4(3) + 3| = |9 - 12 + 3| = |0| = 0$
- Mutlak değer fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 0'dır ve biz bu değeri verilen aralık içinde elde edebildiğimizi gösterdik. Dolayısıyla, fonksiyonun bu aralıktaki minimum değeri 0'dır.
Cevap A seçeneğidir.
