9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Test 2

Bir matematik öğretmeni tahtaya "Küme, verilen işlemde herhangi iki elemanı ile işlem yapıldığında sonuç yine aynı kümenin elemanı oluyorsa, o küme o işleme göre kapalıdır" yazmıştır.
Buna göre aşağıdaki kümelerden hangisi çıkarma işlemine göre kapalı değildir?

A) Tam sayılar kümesi
B) Doğal sayılar kümesi
C) Rasyonel sayılar kümesi
D) Gerçek sayılar kümesi

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir kümenin belirli bir işleme göre "kapalı" olmasının ne anlama geldiğini anlamamız ve ardından çıkarma işlemi için verilen kümeleri tek tek incelememiz gerekiyor. Hadi adım adım ilerleyelim:

• "Kapalılık" Ne Demektir?

  Soruda tanımı çok güzel verilmiş: "Küme, verilen işlemde herhangi iki elemanı ile işlem yapıldığında sonuç yine aynı kümenin elemanı oluyorsa, o küme o işleme göre kapalıdır." Yani, bir kümeden rastgele iki sayı seçip verilen işlemi uyguladığımızda, çıkan sonuç da mutlaka o kümenin içinde olmalı. Eğer bir tane bile istisna bulursak, o küme o işleme göre kapalı değildir deriz.

• Çıkarma İşlemi İçin Kümeleri İnceleyelim:

  Şimdi seçeneklerde verilen kümeleri çıkarma işlemine göre tek tek kontrol edelim.

  • A) Tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$):

    Tam sayılar kümesi, pozitif tam sayıları, negatif tam sayıları ve sıfırı içerir. Yani: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$

    Bu kümeden herhangi iki eleman alıp çıkaralım:

    • $5 - 3 = 2$ (Sonuç bir tam sayı)
    • $3 - 5 = -2$ (Sonuç bir tam sayı)
    • $-2 - 4 = -6$ (Sonuç bir tam sayı)
    • $-4 - (-2) = -4 + 2 = -2$ (Sonuç bir tam sayı)

    Gördüğümüz gibi, hangi iki tam sayıyı birbirinden çıkarırsak çıkaralım, sonuç her zaman yine bir tam sayı olur. Bu nedenle, tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

  • B) Doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$):

    Doğal sayılar kümesi, genellikle sıfırdan başlayarak pozitif tam sayıları içerir: $0, 1, 2, 3, ...$ (Bazı kaynaklarda $1$'den başlar, ancak her iki durumda da sonuç değişmez.)

    Bu kümeden herhangi iki eleman alıp çıkaralım:

    • $5 - 3 = 2$ (Sonuç bir doğal sayı)
    • Şimdi bir istisna bulmaya çalışalım: $3$ bir doğal sayıdır ve $5$ de bir doğal sayıdır. Peki $3 - 5$ işleminin sonucu nedir? $3 - 5 = -2$.

    $-2$ bir doğal sayı mıdır? Hayır, değildir. Çünkü doğal sayılar negatif sayıları içermez.

    Bir tane bile istisna bulduğumuz için, doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir.

  • C) Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$):

    Rasyonel sayılar kümesi, $a/b$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir, burada $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır (örneğin $1/2$, $-3/4$, $5$, $0.75$).

    Herhangi iki rasyonel sayıyı birbirinden çıkardığımızda, sonuç her zaman yine bir rasyonel sayı olur.

    • Örnek: $rac{1}{2} - rac{1}{3} = rac{3}{6} - rac{2}{6} = rac{1}{6}$ (Sonuç bir rasyonel sayı)
    • Örnek: $2 - rac{3}{4} = rac{8}{4} - rac{3}{4} = rac{5}{4}$ (Sonuç bir rasyonel sayı)

    Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

  • D) Gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$):

    Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların tümünü içerir (örneğin $\pi$, $\sqrt{2}$, $e$, $0.5$, $-10$). Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.

    Herhangi iki gerçek sayıyı birbirinden çıkardığımızda, sonuç her zaman yine bir gerçek sayı olur. Bu, gerçek sayıların temel bir özelliğidir.

    • Örnek: $\sqrt{2} - rac{1}{2}$ (Sonuç bir gerçek sayı)
    • Örnek: $\pi - 3$ (Sonuç bir gerçek sayı)

    Bu nedenle, gerçek sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Yaptığımız incelemeler sonucunda, doğal sayılar kümesinin çıkarma işlemine göre kapalı olmadığını gördük, çünkü iki doğal sayının farkı her zaman bir doğal sayı olmak zorunda değildir (negatif sonuçlar çıkabilir).

Cevap B seçeneğidir.