Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için eşkenar üçgenin özelliklerini ve dik üçgenlerdeki temel bağıntıları hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- Eşkenar Üçgenin Özellikleri: Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve tüm iç açıları $60^\circ$'dir. Sorumuzda bir kenarının $10$ cm olduğu belirtilmiş.
- Yüksekliğin Çizilmesi: Bir eşkenar üçgende, herhangi bir köşeden karşı kenara indirilen yükseklik, aynı zamanda o kenarı iki eşit parçaya böler (kenarortaydır) ve o köşedeki açıyı da iki eşit parçaya böler (açıortaydır).
- Dik Üçgen Oluşturma: Yüksekliği çizdiğimizde, eşkenar üçgeni iki tane eş dik üçgene ayırmış oluruz. Bu dik üçgenlerden birini inceleyelim: Bu dik üçgenin hipotenüsü, eşkenar üçgenin bir kenarıdır, yani $10$ cm'dir. Dik kenarlarından biri, eşkenar üçgenin tabanının yarısıdır. Taban $10$ cm olduğuna göre, bu dik kenar $10 / 2 = 5$ cm'dir. Diğer dik kenar ise, aradığımız yükseklik ($h$) olacaktır. Bu dik üçgenin açıları $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$'dir. Çünkü eşkenar üçgenin $60^\circ$'lik açısı yükseklik tarafından ikiye bölündü ($30^\circ$), tabandaki açı $60^\circ$ kaldı ve yükseklik tabana dik indiği için $90^\circ$ oluştu.
- $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ Üçgeni Özelliği: Bu özel dik üçgende kenarlar arasında belirli bir oran vardır: $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x$ ise, $60^\circ$'nin karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ olur ve $90^\circ$'nin (hipotenüsün) karşısındaki kenar ise $2x$ olur.
- Değerleri Yerine Koyma: Bizim dik üçgenimizde $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) $10$ cm'dir. Bu durumda $2x = 10$ cm olur, buradan $x = 5$ cm bulunur. $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x$ olduğu için $5$ cm'dir (bu aynı zamanda tabanın yarısıdır, kontrol ettik). Aradığımız yükseklik ($h$) ise $60^\circ$'nin karşısındaki kenardır. Yani $h = x\sqrt{3}$ formülünü kullanacağız. $x$ yerine $5$ koyarsak, $h = 5\sqrt{3}$ cm olarak bulunur.
Böylece eşkenar üçgenin yüksekliğini $5\sqrt{3}$ cm olarak hesaplamış olduk.
Cevap A seçeneğidir.
