Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, olasılık konusunun önemli bir parçası olan "koşullu olasılık" kavramını kullanacağız. Yani, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Zarın Atılabileceği Tüm Durumları Belirleyelim
- Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek sayılar şunlardır: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
- Bu, bizim başlangıçtaki örnek uzayımızdır.
- 2. Adım: "Bilinen" Durumu Tanımlayalım (Yeni Örnek Uzayımız)
- Soruda bize "üst yüze gelen sayının asal olduğu biliniyor" deniyor. O zaman, sadece asal sayıları dikkate almalıyız.
- Zardaki sayılardan asal olanlar şunlardır:
- $1$ asal değildir.
- $2$ asaldır (sadece $1$ ve $2$'ye bölünür).
- $3$ asaldır (sadece $1$ ve $3$'e bölünür).
- $4$ asal değildir ($1, 2, 4$'e bölünür).
- $5$ asaldır (sadece $1$ ve $5$'e bölünür).
- $6$ asal değildir ($1, 2, 3, 6$'ya bölünür).
- Buna göre, üst yüze gelen sayının asal olduğu bilindiğinde, olası durumlar kümesi (yeni örnek uzayımız) $S' = \{2, 3, 5\}$ olur.
- Bu kümedeki eleman sayısı $n(S') = 3$'tür. Bu sayı, olasılık hesaplamamızın paydası olacaktır.
- 3. Adım: "İstenen" Durumu Tanımlayalım
- Şimdi de bu asal sayılar arasından, soruda bizden istenen durumu bulalım: "bu sayının $5$'ten küçük olma olasılığı".
- Yeni örnek uzayımızdaki sayılardan ($S' = \{2, 3, 5\}$) hangileri $5$'ten küçüktür?
- $2$ sayısı $5$'ten küçüktür.
- $3$ sayısı $5$'ten küçüktür.
- $5$ sayısı $5$'ten küçük değildir (eşittir).
- O halde, istenen durumlar kümesi $E = \{2, 3\}$ olur.
- Bu kümedeki eleman sayısı $n(E) = 2$'dir. Bu sayı, olasılık hesaplamamızın payı olacaktır.
- 4. Adım: Olasılığı Hesaplayalım
- Bir olayın olasılığı, "İstenen Durum Sayısı"nın "Tüm Olası Durum Sayısı"na oranıdır.
- $P(\text{sayının 5'ten küçük olması | sayının asal olması}) = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Bilinen durum sayısı}}$
- $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{2}{3}$
Buna göre, zarın üst yüzüne gelen sayının asal olduğu bilindiğine göre, bu sayının $5$'ten küçük olma olasılığı $ \frac{2}{3} $'tür.
Cevap B seçeneğidir.
