Bir sınavda öğrencilerin %60'ı matematikten, %40'ı ise fizikten başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olan öğrencilerin oranı %30'dur. Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{3}{4} \)
D) \( \frac{2}{3} \)
Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamızı gerektiren bir sorudur. Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın gerçekleşme olasılığını ifade eder. Şimdi adım adım çözüme geçelim:
- Öncelikle, soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
- Bir öğrencinin matematikten başarılı olma olasılığına $P(M)$ diyelim. Verilen bilgiye göre, öğrencilerin %60'ı matematikten başarılı olduğu için $P(M) = \%60 = 0.60$.
- Bir öğrencinin fizikten başarılı olma olasılığına $P(F)$ diyelim. Verilen bilgiye göre, öğrencilerin %40'ı fizikten başarılı olduğu için $P(F) = \%40 = 0.40$.
- Her iki dersten de başarılı olma olasılığına $P(M \cap F)$ diyelim. Verilen bilgiye göre, öğrencilerin %30'u her iki dersten de başarılı olduğu için $P(M \cap F) = \%30 = 0.30$.
- Bizden istenen, rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığıdır. Bu durumu $P(M | F)$ şeklinde gösteririz. Yani, F olayı (fizikten başarılı olma) gerçekleştiğinde M olayının (matematikten başarılı olma) gerçekleşme olasılığı.
- Koşullu olasılık formülü şöyledir: $P(M | F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)}$.
- Şimdi, elimizdeki değerleri bu formülde yerine koyalım:
- $P(M | F) = \frac{0.30}{0.40}$.
- Bu kesri sadeleştirelim. Pay ve paydayı 100 ile çarparak veya ondalık sayıları kesir olarak yazarak sadeleştirebiliriz: $P(M | F) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$.
- Yani, fizikten başarılı olduğu bilinen bir öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı $ \frac{3}{4} $tür.
Cevap C seçeneğidir.
