f(x) = |x-3| + |x+2| fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
A) 0Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun en küçük değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x-3| + |x+2|$.
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|5|=5$ ve $|-5|=5$.
Genel olarak, $|x-a|$ ifadesi, sayı doğrusu üzerinde $x$ noktasının $a$ noktasına olan uzaklığını temsil eder.
Bizim fonksiyonumuz $f(x) = |x-3| + |x+2|$ ise, $x$ noktasının $3$ noktasına olan uzaklığı ile $x$ noktasının $-2$ noktasına olan uzaklığının toplamını ifade eder.
Mutlak değerin içindeki ifadeyi sıfır yapan noktalar, fonksiyonun davranışının değiştiği kritik noktalardır. Bu noktalar, sayı doğrusunu farklı bölgelere ayırır.
İlk mutlak değer için: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
İkinci mutlak değer için: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
Bu kritik noktalar $x=-2$ ve $x=3$'tür. Bu noktalar sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $x < -2$, $-2 \le x \le 3$ ve $x > 3$.
Durum 1: $x < -2$ iken
Bu aralıkta, $x$ hem $3$'ten hem de $-2$'den küçüktür.
Bu durumda, $x-3$ ifadesi negatif olur (örneğin $x=-3$ için $x-3=-6$). Dolayısıyla $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
Aynı şekilde, $x+2$ ifadesi de negatif olur (örneğin $x=-3$ için $x+2=-1$). Dolayısıyla $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.
Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (-x+3) + (-x-2) = -2x+1$.
Bu aralıkta $x$ azaldıkça (yani daha küçük negatif değerler aldıkça), $-2x$ artar, dolayısıyla $f(x)$ artar. Bu aralıktaki en küçük değer $x=-2$ noktasına yaklaştıkça elde edilir. $f(-2) = -2(-2)+1 = 4+1 = 5$.
Durum 2: $-2 \le x \le 3$ iken
Bu aralıkta, $x$ değeri $-2$ ile $3$ arasındadır (veya bu noktalara eşittir).
Bu durumda, $x-3$ ifadesi negatif veya sıfır olur (örneğin $x=0$ için $x-3=-3$). Dolayısıyla $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
$x+2$ ifadesi pozitif veya sıfır olur (örneğin $x=0$ için $x+2=2$). Dolayısıyla $|x+2| = x+2$.
Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (-x+3) + (x+2) = -x+3+x+2 = 5$.
Gördüğümüz gibi, bu aralıktaki tüm $x$ değerleri için fonksiyonun değeri sabittir ve $5$'e eşittir. Bu, fonksiyonun en küçük değeri için güçlü bir adaydır.
Durum 3: $x > 3$ iken
Bu aralıkta, $x$ hem $3$'ten hem de $-2$'den büyüktür.
Bu durumda, $x-3$ ifadesi pozitif olur (örneğin $x=4$ için $x-3=1$). Dolayısıyla $|x-3| = x-3$.
Aynı şekilde, $x+2$ ifadesi de pozitif olur (örneğin $x=4$ için $x+2=6$). Dolayısıyla $|x+2| = x+2$.
Fonksiyonumuz bu aralıkta: $f(x) = (x-3) + (x+2) = 2x-1$.
Bu aralıkta $x$ arttıkça, $2x$ artar, dolayısıyla $f(x)$ artar. Bu aralıktaki en küçük değer $x=3$ noktasına yaklaştıkça elde edilir. $f(3) = 2(3)-1 = 6-1 = 5$.
Yukarıdaki incelemelerden anladık ki:
• $x < -2$ için $f(x)$ değerleri $5$'ten büyüktür (örneğin $x=-3$ için $f(-3) = -2(-3)+1 = 7$).
• $-2 \le x \le 3$ için $f(x)$ değeri sabittir ve $5$'e eşittir.
• $x > 3$ için $f(x)$ değerleri $5$'ten büyüktür (örneğin $x=4$ için $f(4) = 2(4)-1 = 7$).
Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $5$'tir.
Geometrik Yorum: $f(x) = |x-3| + |x+2|$ ifadesi, sayı doğrusu üzerindeki bir $x$ noktasının $3$ noktasına olan uzaklığı ile $-2$ noktasına olan uzaklığının toplamıdır. Bu toplamın en küçük olması için $x$ noktasının, $-2$ ve $3$ noktaları arasında (veya bu noktalara eşit) olması gerekir. Eğer $x$ bu iki nokta arasındaysa, uzaklıkların toplamı basitçe $-2$ ile $3$ arasındaki mesafeye eşit olur.
Bu mesafe: $|3 - (-2)| = |3+2| = 5$.
Bu geometrik yorum, mutlak değer fonksiyonlarının minimum/maksimum değerlerini bulmak için çok hızlı ve sezgisel bir yöntemdir.
Cevap C seçeneğidir.
