Bu soruda, mutlak değer içeren bir eşitsizliği çözerek, eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğini Anlayalım
- Verilen eşitsizlik $|2x-6| < 4$ şeklindedir. Genel olarak, eğer bir $A$ ifadesi için $|A| < k$ (burada $k$ pozitif bir sayı) ise, bu eşitsizlik $-k < A < k$ şeklinde yazılabilir. Bu kural, mutlak değerin tanımından gelir: $A$'nın sıfıra olan uzaklığı $k$'dan küçüktür.
- 2. Adım: Eşitsizliği Yeniden Yazalım
- Yukarıdaki kuralı kullanarak, $|2x-6| < 4$ eşitsizliğini şu şekilde açabiliriz:
- $-4 < 2x-6 < 4$
- 3. Adım: $x$'i Yalnız Bırakmaya Başlayalım (Ortadaki Terimi Düzenleyelim)
- Amacımız, eşitsizliğin ortasında sadece $x$ kalmasını sağlamaktır. Bunun için önce ortadaki $-6$ teriminden kurtulmalıyız. Eşitsizliğin her üç tarafına $6$ ekleyelim:
- $-4 + 6 < 2x-6 + 6 < 4 + 6$
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
- $2 < 2x < 10$
- 4. Adım: $x$'i Tamamen Yalnız Bırakalım
- Şimdi ortada $2x$ var. $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her üç tarafını $2$'ye bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
- $\frac{2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2}$
- Bu işlem sonucunda $x$ için aralığı buluruz:
- $1 < x < 5$
- 5. Adım: Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayı Değerlerini Bulalım
- $1 < x < 5$ eşitsizliği, $x$'in $1$'den büyük ve $5$'ten küçük tam sayılar olması gerektiğini ifade eder. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:
- $x = 2, 3, 4$
- 6. Adım: Bu Tam Sayı Değerlerinin Toplamını Hesaplayalım
- Bulduğumuz $x$ tam sayı değerlerini toplayalım:
- Toplam $= 2 + 3 + 4 = 9$
Böylece, eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayı değerlerinin toplamının $9$ olduğunu bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
