Bir kesrin pay ve paydası aralarında asaldır. Bu kesir \(\frac{18}{24}\) kesrine denk olduğuna göre, pay ve paydanın toplamı kaçtır?
A) 7Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen kesri en sade haline getirmemiz gerekiyor. Çünkü soruda bahsedilen kesrin pay ve paydası aralarında asal.
Adım 1: Verilen kesri inceleyelim.
Bize verilen kesir $\frac{18}{24}$'tür. Bu kesri en sade haline getirmek için pay ve paydayı ortak bölen en büyük sayıya (EBOB) bölmemiz gerekir.
Adım 2: Pay ve paydanın EBOB'unu (En Büyük Ortak Bölen) bulalım.
Payımız $18$, paydamız $24$.
$18$'in bölenleri: $1, 2, 3, 6, 9, 18$
$24$'ün bölenleri: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$
Ortak bölenler: $1, 2, 3, 6$. Bu ortak bölenlerin en büyüğü $6$'dır. Yani EBOB($18, 24$) $= 6$.
Alternatif olarak asal çarpanlara ayırarak da bulabiliriz:
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslülerini alarak bulunur: $2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$.
Adım 3: Kesri EBOB'a bölerek sadeleştirelim.
Payı ve paydayı EBOB olan $6$'ya bölelim:
Yeni pay $= \frac{18}{6} = 3$
Yeni payda $= \frac{24}{6} = 4$
Böylece kesrimiz $\frac{3}{4}$ olur.
Adım 4: Yeni pay ve paydanın aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim.
Yeni payımız $3$, yeni paydamız $4$.
$3$'ün bölenleri: $1, 3$
$4$'ün bölenleri: $1, 2, 4$
Ortak bölenleri sadece $1$'dir. Bu durumda $3$ ve $4$ sayıları aralarında asaldır. Bu da sorunun şartını sağlamaktadır.
Adım 5: Pay ve paydanın toplamını bulalım.
Yeni payımız $3$, yeni paydamız $4$.
Toplam $= 3 + 4 = 7$
Bu durumda, pay ve paydanın toplamı $7$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
