6. Sınıf Aralarında Asal Sayılar Nedir ve Nasıl Anlaşılır? Test 1

m ve n aralarında asal sayılardır. m · n = 60 olduğuna göre, m + n toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 23
B) 32
C) 43
D) 61

Bu problemde, çarpımları $60$ olan ve aralarında asal olan iki sayı ($m$ ve $n$) bulmamız ve bu sayıların toplamının alabileceği en büyük değeri belirlememiz isteniyor. İki sayının aralarında asal olması demek, $1$ dışında hiçbir ortak bölenlerinin olmaması, yani en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) $1$ olması demektir.

• Adım 1: Çarpımı $60$ olan tüm pozitif tam sayı çiftlerini belirleyelim.

• Bir sayının çarpanlarını bulmak için, o sayıyı bölen tüm sayıları sırasıyla düşünebiliriz. $60$ sayısının çarpan çiftleri şunlardır:

  $1 \cdot 60 = 60$

  $2 \cdot 30 = 60$

  $3 \cdot 20 = 60$

  $4 \cdot 15 = 60$

  $5 \cdot 12 = 60$

  $6 \cdot 10 = 60$

  Bu listeyi oluştururken $m$ ve $n$ sayılarının yer değiştirmesi toplamı etkilemeyeceği için $(60, 1)$ gibi çiftleri ayrıca yazmamıza gerek yoktur.

• Adım 2: Belirlediğimiz çiftler arasından aralarında asal olanları seçelim.

• Şimdi her bir çifti inceleyerek $EBOB(m, n) = 1$ koşulunu sağlayanları bulalım:

  $(1, 60)$: $EBOB(1, 60) = 1$. Bu sayılar aralarında asaldır.

  $(2, 30)$: $EBOB(2, 30) = 2$. Bu sayılar aralarında asal değildir (çünkü ikisi de $2$'ye bölünür).

  $(3, 20)$: $EBOB(3, 20) = 1$. Bu sayılar aralarında asaldır.

  $(4, 15)$: $EBOB(4, 15) = 1$. Bu sayılar aralarında asaldır.

  $(5, 12)$: $EBOB(5, 12) = 1$. Bu sayılar aralarında asaldır.

  $(6, 10)$: $EBOB(6, 10) = 2$. Bu sayılar aralarında asal değildir (çünkü ikisi de $2$'ye bölünür).

• Adım 3: Aralarında asal olan çiftlerin toplamını hesaplayalım.

• Şimdi aralarında asal olduğunu belirlediğimiz $m$ ve $n$ çiftlerinin toplamını bulalım:

  $(m, n) = (1, 60) \implies m + n = 1 + 60 = 61$

  $(m, n) = (3, 20) \implies m + n = 3 + 20 = 23$

  $(m, n) = (4, 15) \implies m + n = 4 + 15 = 19$

  $(m, n) = (5, 12) \implies m + n = 5 + 12 = 17$

• Adım 4: Elde edilen toplamlar arasından en büyük değeri seçelim.

• Hesapladığımız toplam değerleri $61, 23, 19, 17$ şeklindedir. Bu değerler arasındaki en büyük sayı $61$'dir.

Bu nedenle, $m + n$ toplamının alabileceği en büyük değer $61$'dir.

Cevap D seçeneğidir.