ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm, m(BAC) = 60°, |DE| = 9 cm, |DF| = 12 cm ve m(EDF) = 60° veriliyor. Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerekir?
A) |BC| = |EF|
B) |EF| = 10 cm
C) m(ABC) = m(DEF)
D) m(ACB) = m(DFE)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki üçgenin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerektiğini bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri İnceleyelim:
- ABC üçgeni için: $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm, $m(\angle BAC) = 60^\circ$.
- DEF üçgeni için: $|DE| = 9$ cm, $|DF| = 12$ cm, $m(\angle EDF) = 60^\circ$.
- 2. Üçgenlerde Benzerlik Kriterlerini Hatırlayalım:
Üçgenlerin benzer olması için çeşitli kriterler vardır. Bu sorudaki bilgiler (iki kenar ve aralarındaki açı) bize Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kriterini düşündürüyor.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının oranları eşitse VE bu kenarlar arasındaki açılar da eşitse, bu iki üçgen benzerdir.
- 3. KAK Benzerlik Kriterini Kontrol Edelim:
- Açıların Eşitliği: Verilen bilgilere göre, her iki üçgende de kenarlar arasındaki açılar eşittir: $m(\angle BAC) = 60^\circ$ ve $m(\angle EDF) = 60^\circ$. Yani $m(\angle BAC) = m(\angle EDF)$ koşulu sağlanıyor.
- Kenar Oranlarının Eşitliği: Şimdi bu eşit açıları oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim:
- Birinci kenar çiftinin oranı: $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
- İkinci kenar çiftinin oranı: $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
Gördüğümüz gibi, kenar oranları da birbirine eşittir ($2/3$).
- 4. Sonuç:
Hem eşit açılar hem de bu açıları oluşturan kenarların oranları eşit olduğu için, ABC ve DEF üçgenleri Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına göre zaten benzerdir. Yani $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ diyebiliriz.
- 5. Benzer Üçgenlerin Özellikleri:
İki üçgen benzerse, karşılıklı kenarlarının oranları eşit olur ve karşılıklı açılarının ölçüleri de birbirine eşit olur. Bu durumda:
- $m(\angle BAC) = m(\angle EDF)$ (Zaten verilmiş ve $60^\circ$)
- $m(\angle ABC) = m(\angle DEF)$
- $m(\angle ACB) = m(\angle DFE)$
- $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{2}{3}$
- 6. Seçenekleri Değerlendirelim:
Soru, "Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerekir?" diye soruyor. Madem ki üçgenler zaten benzer, o zaman benzerliğin bir sonucu olan herhangi bir koşulun sağlanması gerekir.
- A) $|BC| = |EF|$: Benzer üçgenlerde kenarların oranları eşit olmalıdır, kendileri değil (benzerlik oranı $1$ değilse). Burada benzerlik oranı $2/3$ olduğu için $|BC| = \frac{2}{3}|EF|$ olmalıdır, eşitlik söz konusu değildir. Bu seçenek yanlıştır.
- B) $|EF| = 10$ cm: Bu, benzerlikten sonra üçüncü kenarın alabileceği belirli bir değerdir ($|BC| = \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$ cm olurdu). Bu bir koşul değil, benzerliğin bir sonucudur ve tek başına benzerliği sağlamak için yeterli değildir.
- C) $m(ABC) = m(DEF)$: Bu, benzer üçgenlerin bir özelliğidir. Eğer üçgenler benzerse, karşılıklı açılar olan $m(\angle ABC)$ ve $m(\angle DEF)$ birbirine eşit olmak zorundadır.
- D) $m(ACB) = m(DFE)$: Bu da benzer üçgenlerin bir özelliğidir. Eğer üçgenler benzerse, karşılıklı açılar olan $m(\angle ACB)$ ve $m(\angle DFE)$ birbirine eşit olmak zorundadır.
Hem C hem de D seçenekleri, üçgenler benzer olduğunda sağlanması gereken koşullardır. Yani, üçgenler zaten benzer olduğu için bu koşullar zaten sağlanmaktadır. Soru, benzerliğin bir sonucu olan bir ifadeyi sormaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
