f: R → R, f(x) = x² + 3 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [-3, ∞)Sevgili öğrenciler,
Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak, o fonksiyonun alabileceği tüm değerleri belirlemek demektir. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
1. Fonksiyonu Anlayalım:
Bize verilen fonksiyon $f: R \rightarrow R$, $f(x) = x^2 + 3$. Bu fonksiyon, her $x$ gerçel sayısı için bir $f(x)$ değeri üretir. Bizim amacımız, bu $f(x)$ değerlerinin hangi aralıkta olduğunu bulmaktır.
2. Temel Bileşeni İnceleyelim: $x^2$
Fonksiyonumuzun en önemli parçası $x^2$ terimidir. Bir gerçel sayının karesi (yani $x^2$), her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Negatif bir sayı olamaz.
Matematiksel olarak bunu şöyle ifade ederiz: Her $x \in R$ için $x^2 \ge 0$.
Örneğin, $(-2)^2 = 4$, $0^2 = 0$, $3^2 = 9$. Gördüğünüz gibi, sonuçlar asla negatif değildir ve en küçük değeri $0$'dır.
3. Fonksiyonun Tamamını Değerlendirelim: $x^2 + 3$
Şimdi $x^2 \ge 0$ eşitsizliğini kullanarak fonksiyonun tamamını inceleyelim. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 + 3$ olduğu için, eşitsizliğin her iki tarafına $3$ ekleyebiliriz:
$x^2 \ge 0$
$x^2 + 3 \ge 0 + 3$
$x^2 + 3 \ge 3$
Bu da demektir ki, $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer $3$'tür.
4. Görüntü Kümesini Belirleyelim:
Yukarıdaki adımdan anladığımız üzere, $f(x)$ değerleri $3$'e eşit veya $3$'ten büyük olmak zorundadır. Fonksiyonun üst sınırı yoktur, çünkü $x$ büyüdükçe $x^2$ de büyür ve dolayısıyla $x^2 + 3$ de büyür. Sonsuza kadar gidebilir.
Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi $[3, \infty)$ şeklinde ifade edilir.
5. Seçenekleri Kontrol Edelim:
Bulduğumuz görüntü kümesi $[3, \infty)$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu aralığın C seçeneğinde verildiğini görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
