Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak, o fonksiyonun hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğunu, yani gerçek bir sonuç ürettiğini belirlemek demektir. Bazı matematiksel işlemler belirli koşullar altında tanımlı değildir. Bu soruda verilen fonksiyon bir kesirli ifadedir ve kesirli ifadelerde dikkat etmemiz gereken önemli bir kural vardır.
- Adım 1: Fonksiyonu İnceleyelim
- Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{1}{x-2}$ şeklindedir. Bu bir rasyonel (kesirli) fonksiyondur.
- Adım 2: Kesirli İfadelerdeki Kuralı Hatırlayalım
- Matematikte, bir kesrin paydası asla sıfır olamaz. Çünkü sıfıra bölme işlemi tanımsızdır. Eğer payda sıfır olursa, fonksiyon o $x$ değeri için bir gerçek sayı sonucu üretemez.
- Adım 3: Paydayı Sıfır Yapan Değeri Bulalım
- Fonksiyonumuzun paydası $x-2$'dir. Bu paydayı sıfır yapan $x$ değerini bulmak için denklemi kuralım:
- $x-2 = 0$
- Bu denklemi çözdüğümüzde $x = 2$ sonucunu elde ederiz.
- Adım 4: Tanım Kümesini Belirleyelim
- Bulduğumuz $x=2$ değeri, fonksiyonun tanımsız olduğu tek noktadır. Bu durumda, $x$ yerine $2$ hariç tüm gerçek sayıları yazabiliriz ve fonksiyon her zaman gerçek bir sonuç üretecektir.
- Gerçek sayılar kümesini $R$ ile gösteririz. Tanım kümesi, $R$ kümesinden $2$ sayısının çıkarılmasıyla elde edilir. Bu da $R - \{2\}$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim
- A) $R - \{2\}$: Bu, bizim bulduğumuz tanım kümesiyle aynıdır.
- B) $R - \{-2\}$: Bu, paydanın $x+2$ olması durumunda geçerli olurdu.
- C) $(2, \infty)$: Bu, sadece $x > 2$ değerlerini içerir, $x < 2$ değerlerini dışarıda bırakır.
- D) $(-\infty, 2)$: Bu, sadece $x < 2$ değerlerini içerir, $x > 2$ değerlerini dışarıda bırakır.
Bu adımları takip ettiğimizde, fonksiyonun en geniş tanım kümesinin $R - \{2\}$ olduğunu açıkça görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
