Her (∀) niceleyicisi (Evrensel niceleyici) Test 1

Bir matematiksel ifade olan \( \forall x \in \mathbb{R}, x^3 > x^2 \) önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Tüm gerçel sayılar için doğrudur
B) Hiçbir gerçel sayı için doğru değildir
C) Bazı gerçel sayılar için doğrudur
D) Sadece pozitif sayılar için doğrudur

Bu soruda, $ \forall x \in \mathbb{R}, x^3 > x^2 $ önermesinin doğru olup olmadığını incelememiz isteniyor. Bu ifade, "Tüm gerçel sayılar $x$ için $x^3 > x^2$ eşitsizliği doğrudur" anlamına gelir. Şimdi bu eşitsizliği adım adım inceleyelim:

• Eşitsizliği Yeniden Düzenleme:

  Verilen eşitsizlik $ x^3 > x^2 $ şeklindedir. Bu eşitsizliği daha kolay analiz edebilmek için terimleri bir tarafa toplayalım:

  $ x^3 - x^2 > 0 $

  Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Ortak çarpan $x^2$ olduğu için:

  $ x^2(x - 1) > 0 $

• Eşitsizliğin Doğru Olduğu Durumları Belirleme:

  Çarpanlarına ayırdığımız ifade $ x^2(x - 1) > 0 $ şeklindedir. Bir çarpımın pozitif ($>0$) olması için çarpanların işaretleri aynı olmalıdır.

  Burada $x^2$ terimi her zaman $0$ veya $0$'dan büyüktür ($x^2 \ge 0$).

  Eğer $x=0$ olursa, $0^2(0-1) = 0(-1) = 0$ olur ki bu $0 > 0$ eşitsizliğini sağlamaz. Dolayısıyla $x=0$ için önerme yanlıştır.

  Eğer $x \neq 0$ ise, $x^2$ terimi kesinlikle pozitiftir ($x^2 > 0$). Bu durumda, çarpımın pozitif olması için diğer çarpan olan $(x-1)$'in de pozitif olması gerekir.

  Yani, $x - 1 > 0$ olmalıdır. Bu da $x > 1$ anlamına gelir.

  Sonuç olarak, $ x^3 > x^2 $ eşitsizliği sadece $x > 1$ olan gerçel sayılar için doğrudur.

• Örneklerle Kontrol Etme:

  Bulduğumuz sonucu farklı $x$ değerleri için test edelim:

  • $x = 2$ için: $ 2^3 > 2^2 \implies 8 > 4 $. Bu ifade doğrudur. ($x > 1$ koşulunu sağlar)
  • $x = 0.5$ için: $ (0.5)^3 > (0.5)^2 \implies 0.125 > 0.25 $. Bu ifade yanlıştır. ($x > 1$ koşulunu sağlamaz)
  • $x = 0$ için: $ 0^3 > 0^2 \implies 0 > 0 $. Bu ifade yanlıştır. ($x > 1$ koşulunu sağlamaz)
  • $x = -1$ için: $ (-1)^3 > (-1)^2 \implies -1 > 1 $. Bu ifade yanlıştır. ($x > 1$ koşulunu sağlamaz)
• Seçenekleri Değerlendirme:

  Yaptığımız analiz ve örnekler ışığında seçenekleri inceleyelim:

  • A) Tüm gerçel sayılar için doğrudur: Yanlıştır, çünkü örneğin $x=0$, $x=0.5$ veya $x=-1$ için doğru değildir.
  • B) Hiçbir gerçel sayı için doğru değildir: Yanlıştır, çünkü örneğin $x=2$ için doğrudur.
  • C) Bazı gerçel sayılar için doğrudur: Doğrudur, çünkü $x > 1$ koşulunu sağlayan (örneğin $x=2, 3, 1.5$ gibi) sonsuz sayıda gerçel sayı için bu eşitsizlik geçerlidir.
  • D) Sadece pozitif sayılar için doğrudur: Yanlıştır. Eşitsizlik pozitif sayılar ($x > 1$) için doğru olsa da, tüm pozitif sayılar için doğru değildir (örneğin $0 < x \le 1$ aralığındaki pozitif sayılar için yanlıştır). "Sadece" kelimesi bu seçeneği yanlış yapar.

Cevap C seçeneğidir.